Задания: Зорич, том 1б глава 5, параграф 4, упражнения 5,6.

Упражнение 5: Покажите что если функция f непрерывна на [a,b], и для любых $%x_1, x_2$% из [a,b] выполнено равенство $%f((x_1+x_2)/2)\le (f(x_1)+f(x_2))/2$%, то функция f - выпукла.

Упражнение 6: Покажите что:
а) Если выпуклая функция f: R-> R ограничена, то она постоянна;
б) Если для выпуклой функции f: R-> R имеем $%\lim_{x \to -\infty} f(x)/x = \lim_{x \to +\infty} f(x)/x = 0$%; то f - постоянна;
в) Для любой выпуклой функции f, определенной на $%(a; +\infty)$% (или $%(-\infty; a)$%), отношение f(x)/x стремится к конечному пределу или к бесконечности при стремлении х к бесконечности по области определения функции.

В вопросе примерно разбираюсь, но не понимаю с какой стороны подойти при доказательстве.

задан 28 Май '12 10:07

изменен 28 Май '12 10:19

DocentI's gravatar image


9.8k938

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим произвольную точку $%с\in (a; b)$%, ее можно записать как $%c = a + \lambda (b - a)$%, где $%0 < \lambda < 1$%.

Упр. 5. Необходимо доказать, что $%f(c)\le f(a) + \lambda(f(b) - f(a))$%.

Применим метод дихотомии, т.е. с помощью деления пополам построим систему вложенных отрезков, стягивающихся к точке $%c$%. Концы этих отрезков образуют последовательность $%x_i$%. При этом для каждого отрезка будет выполняться условие $%f((x_i+x_{i+1})/2)\le (f(x_i)+f(x_i+1))/2$%.

Можно показать по индукции, что, если $%x_i = a+ \lambda_i(b-a)$%, то $%f(x_i)\le f(a) + \lambda_i(f(b) - f(a))$%. Осталось перейти к пределу при $%i\to \infty$%.

Упр. 6. Легко показать, что $%f(b)\ge f(a) + {1\over\lambda}(f(c)-f(b))$%, если $%a < c < b$%.

Предположим, что функция непостоянна. Например, в точках $%x_0 < x_1$% принимает значения $%f(x_0) < f(x_1)$%. Рассмотрим последовательность $%x_n = x_0 + n(x_1-x_0)$%, имеем $%f(x_n)\ge f(x_0) + n(f(x_1)-f(x_0))$%.

п. а) последовательность $%f(x_n)$% не ограничена.
п. б) имеем $%{f(x_n)\over x_n}\ge {f(x_0) + n(f(x_1)-f(x_0))\over x_0 + n(x_1-x_0)}\to {f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0} > 0$%.
В данном случае достаточно потребовать, чтобы один из выписанных пределов был равен 0.

ссылка

отвечен 28 Май '12 10:43

изменен 28 Май '12 11:23

А в указании к пятому, ...переход к пределу по i что доказывает? И как его осуществить, можно подробнее?

(30 Май '12 22:52) Иао

Вы же написали "В вопросе примерно разбираюсь"? Что-то незаметно. Я не написала подробно, так как неохота много формул набирать. Переход к пределу позволяет доказать нужное неравенство для всех вещественных $%\lambda$%, а не только тех, которые являются конечными двоичными дробями.
Но сначала нужно доказать неравенство для $%\lambda_i$%, например, по индукции.

(31 Май '12 0:29) DocentI

Просто я понимаю, то что написано, доказывает что хорда лежит выше участка графика и все. Это же не делает функцию фыпуклой. Похоже все кроется в этом предельном переходе, а именно его вот и не понимаю.

(2 Июн '12 0:18) Иао

А что же еще делает функцию выпуклой? Именно то, что она лежит ниже любой хорды своего графика. (то есть что надграфик является выпуклым множеством).

(2 Июн '12 0:47) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Упр. 5. Иногда это принимают за определение функции выпуклой вниз. Справедливо более общее неравенство для функции выпуклой вниз (неравенство Йенсена). Доказательство очевидно (см. рисунок)alt text

ссылка

отвечен 28 Май '12 11:08

Вы доказываете свойство выпуклой функции? Или, наоборот, признак того, что функция выпуклая (что требуется в задаче)?

(28 Май '12 11:18) DocentI

Да, не дочитал до конца. Пусть будет признак. Предоставил наглядность. Это не строгое доказательство. Я и не ставил себе такую цель.

(28 Май '12 11:22) Anatoliy

В задаче для функции указаны конкретные лямда1 и лямда2, равные 1/2. Просто в определении, лямда1 и лямда2 произвольные но в сумме дают 1. Это вот и требуется доказать.

(28 Май '12 11:23) Иао

В определении $%0\le \lambda \le 1$%, такое число можно представить как (бесконечную) двоичную дробь, т.е. как сумму степеней 1/2. Соответственно, неравенство тоже переносится на такие суммы, сначала конечные (по индукции) а потом и бесконечные (с помощью непрерывности)

(28 Май '12 11:29) DocentI

А можно поподробнее про неравенство, вот то которые вы описале в подсказке. Как оно вышло?

(28 Май '12 11:34) Иао

Оно должно быть в определении, так как такие $%\lambda$% описывают точки в промежутке от $%x_1$% до $%x_2$%.

Если $%\lambda < 0$%, то точка $%c = (1-\lambda) x_1 +\lambda x_2 = x_1 + \lambda(x_2 -x_1)$% лежит левее $%x_1$%, если же $%\lambda > 1$%, то точка $%c$% лежит правее $%x_2$%. Здесь мы, конечно, считаем, что $%x_1 < x_2$%.

Ну, а определение выпуклости состоит в том, что график функции лежит ниже секущей между точками их пересечения, а не вне них! (см. рисунок в ответе @Anatoliy.
Вовне отрезка $%[x_1; x_2]$% неравенство как раз обратное, что и используется в решении Упр. 6.

(28 Май '12 11:48) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480
×6

задан
28 Май '12 10:07

показан
3631 раз

обновлен
2 Июн '12 0:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru