На оси $%Ox$% касательная к кривой $%F(x,y)=0$%, проведенная в любой ее точке, отсекает отрезок (от начала координат до точки пересечения касательной с $%Ox$%), равный длине отрезка касательной от точки касания до точки пересечения касательной с $%Ox$%. Если кривая проходит через точку $%(2;4)$%, то наибольшая ордината точек кривой равeн.

задан 15 Мар '15 0:37

изменен 15 Мар '15 10:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Задача упоминалась здесь.

(15 Мар '15 0:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%O$% -- начало координат, $%P$% -- точка касания, $%l$% -- касательная в точке $%P$%, а также $%A$% -- точка пересечения $%l$% с осью $%OX$%. По условию, $%OA=AP$%, то есть треугольник $%OAP$% равнобедренный. Пусть $%\angle POA=\alpha$%; тогда $%\angle PAX=2\alpha$%. Тангенс последнего угла есть угловой коэффициент прямой $%l$%, то есть он равен $%y'(x)$%, где $%P$% имеет координаты $%(x,y)$%. Также ясно, что тангенс угла $%\alpha$% равен $%y/x$%. С учётом формулы тангенса двойного угла получается дифференциальное уравнение $%y'=\frac{2y/x}{1-(y/x)^2}$%.

Полагая $%z=y/x$%, имеем $%y'=(xz)'=z'+xz=\frac{2z}{1-z^2}$%, откуда $%xz'=\frac{z(1+z^2)}{1-z^2}$%, и возникает уравнение с разделяющимися переменными $%\frac{1-z^2}{z(1+z^2)}dz=\frac{dx}x$%.

Легко заметить, что $%\frac{1-z^2}{z(1+z^2)}=\frac1z-\frac{2z}{1+z^2}$%, и интегрирование даёт $%\ln z-\ln(1+z^2)=\ln\frac{z}{1+z^2}$% с точностью до константы (мы здесь считаем, что дело происходит в первой координатной четверти). В итоге получается $%x=\frac{Cz}{1+z^2}$%. Точке $%(2;4)$% соответствует значение $%z=2$%, откуда $%C=5$%. Поэтому $%x^2(1+z^2)=5xz$%, то есть $%x^2+y^2=5y$%. Это уравнение части окружности. Поскольку $%y(y-5)=-x^2\le0$%, получается $%y\in[0;5]$%, и максимальная ордината точек кривой равна $%5$%.

ссылка

отвечен 15 Мар '15 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,399
×2,738
×1,724

задан
15 Мар '15 0:37

показан
635 раз

обновлен
15 Мар '15 1:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru