|
в) $%f(x_1,x_2)=e^{2x_1}{\rm ch\,}kx_2$% Прямая проверка: $%\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}=4f(x_1,x_2)$%; $%\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2}=k^2f(x_1,x_2)$%. Отсюда $%k^2+4=0$%, то есть $%k=\pm2i$% при условии, что комплекснозначные функции вещественного аргумента допускаются. г) $%f(x_1,x_2)=\sin3x_1\,{\rm ch\,}kx_2$% Здесь всё аналогично: $%k^2=9$%, $%k=\pm3$%. д) Рассматривается функция $%f(x_1,\ldots,x_n)=\frac1{|x|^k}=\frac1{(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{k/2}}=y^{-k/2}$%, где $%y=x_1^2+\cdots+x_n^2$%. Находим частные производные: $%\frac{\partial f}{\partial x_i}=-\frac{k}2\cdot2x_iy^{-k/2-1}=-kx_iy^{-k/2-1}$%. Заметим, что при $%k=0$% функция является константой, то есть гармонической. При $%k\ne0$% общий ненулевой множитель можно отбросить. Дальше получится $%\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_iy^{-k/2-1})=y^{-k/2-1}-2x_i^2(\frac{k}2+1)y^{-k/2-2}$%, что пропорционально $%y-(k+2)x_i^2$%. Суммирование по $%i$% от $%1$% до $%n$% даёт $%ny-(k+2)(x_1^2+\cdots+x_n^2)=(n-k-2)y$%. Приравниваем к нулю, откуда $%k=n-2$%. отвечен 15 Мар '15 15:25 
falcao |
|
Вычислите значение лапласиана от этих функций... и посмотрите когда он будет равен нулю... отвечен 15 Мар '15 14:19 
all_exist @Aaa: это задание полностью аналогично, и нет никакого смысла записывать его подробно. Проще объяснить, если что-то непонятно. Для решения надо знать, как находить производные синусов и косинусов. Остальное совсем просто.
(15 Мар '15 18:47)
falcao
@Aaa: дело не в том, что это требует большого труда, а в том, что это бессмысленно. Важно научиться делать такие вещи, а от переписывания решения никому не будет никакой пользы. Будет гораздо лучше, если Вы покажете свои вычисления, и тогда можно будет указать на ошибки. Функции здесь очень простые, а сомножители ведут себя независимо. Надо помнить производные синуса и косинуса, включая гиперболический случай, только и всего.
(15 Мар '15 19:02)
falcao
Загрузи куда нибудь фото и ссылку отправь.
(15 Мар '15 19:10)
VПетр
@Aaa: там нет квадрата у гиперболического косинуса. Есть две переменных $%x_1$% и $%x_2$%; двойка там идёт как нижний индекс. Можно для удобства заменить их на $%x$% и $%y$%. Тогда функцию $%\sin3x\,{\rm ch\,}ky$% надо будет два раза продифференцировать отдельно по $%x$%, отдельно по $%y$% и сложить. Появится множитель $%k^2-9$%.
(15 Мар '15 19:26)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|