alt text alt text

задан 15 Мар '15 17:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применить признак Дирихле: Если

  1. функция $%f$% непрерывна и имеет ограниченную первообразную на $%(a,+\infty)$%,
  2. функция $%g$% непрерывно дифференцируемая и убывающая на $%(a,+\infty)$%,
  3. $%\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$%, то интеграл $$\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$$ сходится.

Отсюда следует в частности, что все интегралы вида $$\int_{1}^{+\infty}\frac{a\cos x+b\sin x}{x^{\alpha}}dx$$ при $%\alpha>0$% сходятся.

ссылка

отвечен 15 Мар '15 17:07

изменен 15 Мар '15 17:15

@cartesius, а без использования признака Дирихле как-нибудь решается?

(15 Мар '15 18:46) Intense

Решается. Проведением доказательства признака Дирихле в частном случае. Надо воспользоваться определением: $$\int_a^{+\infty}h(x)dx=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_a^{b}h(x)dx.$$ Затем проинтегрировать по частям, тогда $$\int_1^bf(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_1^b-\int_1^bF(x)g'(x)dx.$$ Здесь $%F(x)$% - первообразная $%f(x)$%. Далее первое слагаемое стремится к $%-F(1)g(1)$%, т.к. $%F(b)g(b)$% стремится к 0 по условиям 1 и 3. Интеграл можно оценить $$\int_1^bF(x)g'(x)dx\leqslant M\int_1^b|g'(x)|dx=-M(g(b)-g(1)).$$ В пределе $%g(b)$% стремится к 0. Тоже ограниченная функция. Поэтому интеграл сходится.

(15 Мар '15 19:08) cartesius

$%M$% - это число, ограничивающее функцию $%F$%.

(15 Мар '15 19:10) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,466
×869
×76

задан
15 Мар '15 17:03

показан
894 раза

обновлен
15 Мар '15 19:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru