пределы - Доказать, что несобственные интегралы сходятся

@cartesius, а без использования признака Дирихле как-нибудь решается?

Решается. Проведением доказательства признака Дирихле в частном случае. Надо воспользоваться определением: $$\int_a^{+\infty}h(x)dx=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_a^{b}h(x)dx.$$ Затем проинтегрировать по частям, тогда $$\int_1^bf(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_1^b-\int_1^bF(x)g'(x)dx.$$ Здесь $%F(x)$% - первообразная $%f(x)$%. Далее первое слагаемое стремится к $%-F(1)g(1)$%, т.к. $%F(b)g(b)$% стремится к 0 по условиям 1 и 3. Интеграл можно оценить $$\int_1^bF(x)g'(x)dx\leqslant M\int_1^b|g'(x)|dx=-M(g(b)-g(1)).$$ В пределе $%g(b)$% стремится к 0. Тоже ограниченная функция. Поэтому интеграл сходится.

$%M$% - это число, ограничивающее функцию $%F$%.