высшая-математика - Математический анализ. Вычислить пределы.

8) Пусть $%\lim\limits_{x\to0}(1+4x)^{\frac1{4x^2+x}}=a$%. Тогда $%\ln a=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x(4x+1)}$%. Поскольку $%\ln(1+4x)\sim4x$% при $%x\to0$%, получается $%\ln a=\lim\limits_{x\to0}\frac{4}{4x+1}=4$%, то есть $%a=e^4$%.

Можно решать и по-другому, сводя всё ко второму замечательному пределу.

9) $%\lim\limits_{x\to-\infty}(x-4)(\ln(2-3x)-\ln(5-3x))$%. Второй сомножитель равен $%\ln\frac{2-3x}{5-3x}$%, где выражение под знаком логарифма стремится к $%1$%. Представим это выражение в виде $%1+y$%, где $%y=\frac{2-3x}{5-3x}-1=\frac3{3x-5}$% стремится к нулю (слева). Вновь пользуемся тем, что $%\ln(1+y)\sim y=\frac3{3x-5}$%. Предел принимает вид $%\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{3(x-4)}{3x-5}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{3-12x^{-1}}{3-5x^{-1}}=1$%.