Вписанный в окружность четырехугольник $%ABCD$% удовлетворяет условия $%AD=BD$%, $%M - $% точка пересечения диагоналей четырехугольника, $%I - $% центр окружности вписанной в $%\triangle BCM$%, $%N - $% точка пересечения прямой $%AC$% и описанной окружности $%\triangle BMI$%, отличная от $%M$%. Докажите, что $%AN \cdot NC= CD \cdot BN$%

задан 18 Мар '15 17:43

Ааааа! ))) какая красивая - да еще и легкая.. ( хотя вчера вечером я нарисовала, ужаснулась - и ушла спать.. )

(19 Мар '15 14:07) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
3

Сначала просто долго смотрим, где какие углы..
В равнобедренном треуг-ке $%ABD$% обозначим углы $%\angle BAD =\angle ABD = \alpha$%, тогда и $%\angle ACD = \alpha$%, а угол $%\angle ADB = 180 - 2\alpha$%, и $%\angle ACB = 180 - 2\alpha$%. И обозначим угол $%\angle CBD = \beta$%, то есть и $%\angle CAD = \beta$%, а угол $%\angle CAB = \alpha - \beta$% и $%\angle CDB = \alpha - \beta$%.
Так как $%BJ$% - биссектриса, то $%\angle MBJ = \beta/2$%, тогда и $%\angle MNJ = \beta/2$% ( опираются на одну дугу $%MJ$% ). Угол $%\angle BMC = \alpha - \beta + \alpha = 2\alpha - \beta$% ( это внешний угол треугольника $%CMD$%, равный сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ). И т.к. $%MJ$% - биссектриса, то $%\angle BMJ = \alpha - \beta/2$%, а тогда и $%\angle BNJ = \alpha - \beta/2$%. Значит, угол $%\angle BNC = \alpha$%. Но тогда $%\angle NBC = 180 - ( 180 - 2\alpha ) - \alpha = \alpha$%, то есть треугольник $%CNB$% - равнобедренный ( и подобный треугольнику $%DAB$% ), и имеем равные отрезки $%NC = CB$%.
Угол $%\angle ABN = (\alpha + \beta ) - \alpha = \beta$%.

И теперь почти сразу получаем то, что надо было доказать..
Треуг-к $%ANB$% подобен треуг-ку $%DCB$%, то есть $%\frac{AN}{CD} = \frac{NB}{CB}$%, а заменяя $%CB$% на равный ему отрезок $%NC$%, получаем: $%\frac{AN}{CD} = \frac{NB}{NC}$%, то есть $%AN\cdot NC = NB\cdot CD$%

alt text

ссылка

отвечен 19 Мар '15 15:19

@ЛисаА: Благодарю за решение! Какую программу вы используете при построении рисунков?

(19 Мар '15 15:45) Роман83

@Роман83, рисую в "ГеоГебре" ( GeoGebra ). Хорошая программка, только один минус - зависит от "Джавы".. ( вообще не работает, если "Джава" не установлена, и потом Java обновляется сама, а GeoGebra нет - и снова что-нибудь перестает работать.. )

Рисунки вообще должны бы экспортироваться в jpeg-файлы "сами" ( есть там такая функция ), но у меня версия ГеоГебры "частично не дружит" с версией Джавы - в результате работает не всё, и рисунки приходится "тащить" через "принт-скрин" и Paint =(( ( поэтому резкость рисунков получаеся плохая.. )

(19 Мар '15 15:52) ЛисаА

@Роман83, а вам спасибо за подборку задач =)) очень симпатичные.. ))

(19 Мар '15 15:53) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×15

задан
18 Мар '15 17:43

показан
518 раз

обновлен
19 Мар '15 15:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru