$%xy''+y' =x+1$%

Таким способом это уравнение решается?

1) Найдем общее решение соответствующего однородное уравнение:

$%xy''+y' =0$%

Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

$%xk^2 +k=0$%

$%k_1 = 0, k_2= -\frac{1}{x}$%

Общее решение:

$%y_0=C_1e^{-\frac{1}{x} *x} +C_2e^0 =C_1e^{-1} +C_2$%

2) Рассмотрим правую часть $%x+1$%.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: $%y_1=Ax^2+Bx$% . Найдем первую и вторую производную:

$%y_1'=2Ax+B$%

$%y_1''=2A$%

Подставим $%y'_1$% и $%y_1''$% в левую часть неоднородного уравнения: $%xy''+y' =2Ax+2Ax+B=x+1$%

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:$%B=1, 2A+2A=1; A=\frac{1}{4}$%.

Таким образом: $%y_1=\frac{1}{4}x^2+x$%.

3) Общее решение неоднородного уравнения:$%y=C_1e^{-1} +C_2 +\frac{1}{4}x^2+x$%

задан 19 Мар '15 17:50

изменен 19 Мар '15 19:39

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

ссылка

отвечен 19 Мар '15 17:59

@epimkin спасибо

(19 Мар '15 18:04) s1mka

Пожалуйста

(19 Мар '15 18:05) epimkin

Нет, неправильно

(19 Мар '15 18:11) epimkin

@epimkin почему $%V=\frac{1}{x}$% а не $%V=-\frac{1}{x}$%

(21 Мар '15 17:58) s1mka
1

@s1mka: условие $%\ln v=-\ln x$% означает, что $%\ln v=\ln(x^{-1})=\ln\frac1x$% в силу свойств логарифмов. Поэтому, полагая $%v=\frac1x$%, мы обеспечиваем нужное свойство.

(21 Мар '15 19:00) falcao
1

@s1mka: забыл добавить, что в Вашем способе решения имеется ошибка в самом начале. Тот метод, который связан с рассмотрением характеристического уравнения, применим для линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь же это не так: коэффициенты зависят от $%x$%.

(21 Мар '15 19:02) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

До кучи ещё один вариант...

Перепишем уравнение в виде $$ x\,(y')'+(x)'\,y'=x+1 \quad\Rightarrow\quad (x\,y')'=x+1 \quad ... $$ Останется проинтегрировать... поделить на икс и ещё раз проинтегрировать...

ссылка

отвечен 19 Мар '15 22:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,571
×1,839
×1,046

задан
19 Мар '15 17:50

показан
543 раза

обновлен
21 Мар '15 19:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru