математический-анализ - Найти решение дифференциального уравнеия 2-го порядка

$%xy''+y' =x+1$%

Таким способом это уравнение решается?

1) Найдем общее решение соответствующего однородное уравнение:

$%xy''+y' =0$%

Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

$%xk^2 +k=0$%

$%k_1 = 0, k_2= -\frac{1}{x}$%

Общее решение:

$%y_0=C_1e^{-\frac{1}{x} *x} +C_2e^0 =C_1e^{-1} +C_2$%

2) Рассмотрим правую часть $%x+1$%.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: $%y_1=Ax^2+Bx$% . Найдем первую и вторую производную:

$%y_1'=2Ax+B$%

$%y_1''=2A$%

Подставим $%y'_1$% и $%y_1''$% в левую часть неоднородного уравнения: $%xy''+y' =2Ax+2Ax+B=x+1$%

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:$%B=1, 2A+2A=1; A=\frac{1}{4}$%.

Таким образом: $%y_1=\frac{1}{4}x^2+x$%.

3) Общее решение неоднородного уравнения:$%y=C_1e^{-1} +C_2 +\frac{1}{4}x^2+x$%