Хорошая задача на тему разрезания (не олимпиадная). Доказать, что для любого открытого и ограниченного подмножества $%A$% плоскости и любой прямой $%l$% существует прямая $%L$% такая, что $%L$% параллельна $%l$% и делит $%A$% на два множества равной площади.

Добавление

1). Это задача из замечательного задачника Виро, Нецветаева и др. "Элементарная топология"

2). Конечно, множество должно быть измеримо, допустим, по Хаусдорфу, чтобы вообще можно было говорить о площади. Но форму множество может иметь "сколь угодно нерегулярную".

3). Открытость множества, по-моему, в доказательстве не очень используется.

4). Также предлагается обобщение: если множество связно, то такая прямая единственна.

задан 29 Май '12 23:34

изменен 30 Май '12 16:36

Т.е. $%A$% еще и и измеримо. А зачем нужна открытость?

(30 Май '12 1:45) Андрей Юрьевич

A множество $%A$% имеет границу?

(30 Май '12 9:27) ASailyan

Может просто плоская геометрическая фигура, имеющая площадь?

(30 Май '12 10:32) Anatoliy

Я думаю @Anatoliy прав. Иначе к решению вообще ни с кого боку нельзя будет подойти

(30 Май '12 11:35) Limit-Sun

Этот вопрос автор фактически не задавал: он предложил его в комментарии, а я уже превратила в вопрос. Так что он даже и не знает, что является автором! Так что давайте сами уточнять постановку и решать поставленную задачу!

(30 Май '12 12:35) DocentI

Ахаха, здорово придумали!=))

(30 Май '12 16:22) Fedya
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим ограниченную и измеримую плоскую фигуру $%A$% и прямую $%l_0$%.

Проведем прямую $%l(x)$%, параллельную данной прямой на расстоянии $%x$% от нее в направлении "вправо-вниз". Если прямая оказалась левее/выше $%l_0$%, то будем считать расстояние $%x$% отрицательным. Прямая $%l(x)$% разбивает плоскость на две полуплоскости, обозначим "левую-верхнюю" через $%П(x)$%, пусть, $%B(x)=A \cap П(x)$%. Фигура $%B(x)$% измерима, поэтому существует ее площадь $%s(x)=\mu (B(x))$% - монотонно неубывающая непрерывная функция $%x$%, изменяющаяся от 0 до $%S=\mu (A)$%. График этой функции - непрерывная кривая, поэтому существует точка пересечения графика $%y = s(x)$% c прямой $%y = S/2$%, соответствующая искомой прямой. Таких точек (и, соответственно, прямых) может быть и бесконечно много, но хотя бы одна обязательно существует, ч.т.д.

ссылка

отвечен 30 Май '12 16:14

изменен 30 Май '12 16:40

Да, конечно это верно, ключевой момент - теорема о промежуточном значении.

(30 Май '12 16:37) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394

задан
29 Май '12 23:34

показан
653 раза

обновлен
30 Май '12 16:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru