|
Хорошая задача на тему разрезания (не олимпиадная). Доказать, что для любого открытого и ограниченного подмножества $%A$% плоскости и любой прямой $%l$% существует прямая $%L$% такая, что $%L$% параллельна $%l$% и делит $%A$% на два множества равной площади. Добавление 1). Это задача из замечательного задачника Виро, Нецветаева и др. "Элементарная топология" 2). Конечно, множество должно быть измеримо, допустим, по Хаусдорфу, чтобы вообще можно было говорить о площади. Но форму множество может иметь "сколь угодно нерегулярную". 3). Открытость множества, по-моему, в доказательстве не очень используется. 4). Также предлагается обобщение: если множество связно, то такая прямая единственна. задан 29 Май '12 23:34 
Fedya
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Рассмотрим ограниченную и измеримую плоскую фигуру $%A$% и прямую $%l_0$%. Проведем прямую $%l(x)$%, параллельную данной прямой на расстоянии $%x$% от нее в направлении "вправо-вниз". Если прямая оказалась левее/выше $%l_0$%, то будем считать расстояние $%x$% отрицательным. Прямая $%l(x)$% разбивает плоскость на две полуплоскости, обозначим "левую-верхнюю" через $%П(x)$%, пусть, $%B(x)=A \cap П(x)$%. Фигура $%B(x)$% измерима, поэтому существует ее площадь $%s(x)=\mu (B(x))$% - монотонно неубывающая непрерывная функция $%x$%, изменяющаяся от 0 до $%S=\mu (A)$%. График этой функции - непрерывная кривая, поэтому существует точка пересечения графика $%y = s(x)$% c прямой $%y = S/2$%, соответствующая искомой прямой. Таких точек (и, соответственно, прямых) может быть и бесконечно много, но хотя бы одна обязательно существует, ч.т.д. отвечен 30 Май '12 16:14 
Андрей Юрьевич Да, конечно это верно, ключевой момент - теорема о промежуточном значении.
(30 Май '12 16:37)
Fedya
|
Т.е. $%A$% еще и и измеримо. А зачем нужна открытость?
A множество $%A$% имеет границу?
Может просто плоская геометрическая фигура, имеющая площадь?
Я думаю @Anatoliy прав. Иначе к решению вообще ни с кого боку нельзя будет подойти
Этот вопрос автор фактически не задавал: он предложил его в комментарии, а я уже превратила в вопрос. Так что он даже и не знает, что является автором! Так что давайте сами уточнять постановку и решать поставленную задачу!
Ахаха, здорово придумали!=))