Здравствуйте! Задача такая.

Найти формулу общего члена последовательности $%\big\{a_n\big\}$%, заданной рекуррентно: $%a_1 = 1$%, $%a_{n+1} = a_n + 8n$%. Ответ обоснуйте.

Я вроде бы нашла каким-то путем эту формулу, но, мне кажется, как-то странно, хотя если подставить в полученную мной формулу и проверить, то получаются те самые члены последовательности. Скажите, а как бы Вы рассуждали и обосновывали полученную формулу?

задан 23 Мар '15 14:54

изменен 23 Мар '15 16:16

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь надо просуммировать арифметическую прогрессию. Члены последовательности имеют вид $%a_n=1+(8+16+\cdots+8(n-1))$%. То, что в скобках -- это арифметическая прогрессия. Удобно вынести множитель 8, и тогда $%a_n=1+8(1+2+\cdots+(n-1))=1+8\cdot\frac{(n-1)n}2=4n^2-4n+1$%. Можно заметить, что это полный квадрат, то есть $%a_n=(2n-1)^2$%. То есть тут получаются числа 1, 9, 25, 49, ... , где к единице последовательно прибавляются 8, 16, 24, и так далее, как и должно быть.

ссылка

отвечен 23 Мар '15 15:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Выписав первые несколько членов последовательности замечаем, что они представляют собой полный квадрат, уменьшенный на 9. Отсюда легко выводится формула общего члена: $%a_n=(2n+1)^2-9$%. А вот доказывать, что она представляет собой нужную формулу, нужно методом математической индукции.

База индукции очевидна.

Пусть формула верна для $%k$%, то есть $%a_k=(2k+1)^2-9$%. Проверим, что она верна и для $%k+1$%: $$a_{k+1}=a_k+8(k+1)=(2k+1)^2-9 + 8(k+1) = (2(k+1)+1)^2-9$$ то есть $%a_{k+1}$% удовлетворяет той же формуле. Поэтому, согласно методу математической индукции, формула общего члена верна.

ссылка

отвечен 23 Мар '15 15:05

изменен 23 Мар '15 15:45

Ошиблась, решала задачу для $%a_{n+1}=a_n+8(n+1)$%.

(23 Мар '15 15:45) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×369
×49

задан
23 Мар '15 14:54

показан
3885 раз

обновлен
23 Мар '15 15:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru