|
В качестве некоторого извращения... Вспомним, что $$ \sin a = \frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}, \qquad e^{ia}+e^{-ia} = 2\cos a $$ и формулу бинома.... Откуда $$ \int\sin^8 x \;dx= \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^8\;dx= $$ $$ =\frac{1}{2^8}\int \Bigg(\Big[e^{8ix}+e^{-8ix}\Big]-8\Big[e^{6ix}+e^{-6ix}\Big]+28\Big[e^{4ix}+e^{-4ix}\Big]-56\Big[e^{2ix}+e^{-2ix}\Big]+70\Bigg)\;dx= $$ $$ =\frac{1}{2^7}\int \Bigg(\cos(8x) -8\cos(6x)+28\cos(4x)-56\cos(2x)+35\Bigg)\;dx= ... $$ отвечен 17 Сен '15 23:32 
all_exist |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
24 Мар '15 20:23
показан
1246 раз
обновлен
18 Сен '15 0:32
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Метод понижения степени здесь можно применять, но это будет очень долго. Лучше, наверное, представить интеграл в виде $%(\frac{\sin x}{\cos x})^8\cos^{10}x\frac{dx}{\cos^2x}$%, и далее представить как интеграл от рациональной функции от $%t={\rm tg\,}t$%, то есть $%\int\frac{t^8}{(1+t^2)^5}dt$%. После этого применить метод Остроградского.
а как дальше применить метод остроградского?https://yadi.sk/d/Uhr0BN_DfVoLG
Ваш путь (интегрировать на языке тригонометрических функций с помощью формул понижения степени) - трудоемкий, но быстрее прочих приведет к успеху. Так что, трудитесь дальше... Успехов
@Smartly: на вопрос о методе Остроградского лучше ответить отдельно (там, где Вы дополнительно спросили). Здесь же надо заметить, что при возведении в 4-ю степень у Вас ошибка. Там получается $%(1+\cos^2t-2\cos t)^2$%, то есть внутри скобок плюс вместо минуса, и через квадрат синуса так хорошо уже не выразить.
Удивительно, но на этот путь натолкнул Mathcad, который внутри снабжен рекуррентной формулой. Ее получим интегрированием по частям. Поэтому объясняю "на пальцах". 1. Отделяем множителем sinx и вносим его под дифференциал. 2. Применяем формулу интегрирования по частям. 3. Под интегралом выскакивает квадрат cosx, который вернем к sinx 4. В правой части получается интеграл от шестой степени sinx и выскочил исходный интеграл с множителем 7, этот интеграл надо перенести к исходному и затем разделить на 8. 5. И так далее, понижая каждый раз степень sinx на два.
"На пальцах" - т.к. формулы тут вводить не умею, у рисунок не взяли...