alt text

alt text

задан 24 Мар '15 20:23

изменен 25 Мар '15 14:42

Метод понижения степени здесь можно применять, но это будет очень долго. Лучше, наверное, представить интеграл в виде $%(\frac{\sin x}{\cos x})^8\cos^{10}x\frac{dx}{\cos^2x}$%, и далее представить как интеграл от рациональной функции от $%t={\rm tg\,}t$%, то есть $%\int\frac{t^8}{(1+t^2)^5}dt$%. После этого применить метод Остроградского.

(24 Мар '15 21:11) falcao

а как дальше применить метод остроградского?https://yadi.sk/d/Uhr0BN_DfVoLG

(25 Мар '15 13:23) Smartly

Ваш путь (интегрировать на языке тригонометрических функций с помощью формул понижения степени) - трудоемкий, но быстрее прочих приведет к успеху. Так что, трудитесь дальше... Успехов

(25 Мар '15 16:06) spesiv

@Smartly: на вопрос о методе Остроградского лучше ответить отдельно (там, где Вы дополнительно спросили). Здесь же надо заметить, что при возведении в 4-ю степень у Вас ошибка. Там получается $%(1+\cos^2t-2\cos t)^2$%, то есть внутри скобок плюс вместо минуса, и через квадрат синуса так хорошо уже не выразить.

(25 Мар '15 16:52) falcao

Удивительно, но на этот путь натолкнул Mathcad, который внутри снабжен рекуррентной формулой. Ее получим интегрированием по частям. Поэтому объясняю "на пальцах". 1. Отделяем множителем sinx и вносим его под дифференциал. 2. Применяем формулу интегрирования по частям. 3. Под интегралом выскакивает квадрат cosx, который вернем к sinx 4. В правой части получается интеграл от шестой степени sinx и выскочил исходный интеграл с множителем 7, этот интеграл надо перенести к исходному и затем разделить на 8. 5. И так далее, понижая каждый раз степень sinx на два.

(17 Сен '15 22:59) spesiv

"На пальцах" - т.к. формулы тут вводить не умею, у рисунок не взяли...

(17 Сен '15 23:00) spesiv
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

В качестве некоторого извращения...

Вспомним, что $$ \sin a = \frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}, \qquad e^{ia}+e^{-ia} = 2\cos a $$ и формулу бинома.... Откуда $$ \int\sin^8 x \;dx= \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^8\;dx= $$ $$ =\frac{1}{2^8}\int \Bigg(\Big[e^{8ix}+e^{-8ix}\Big]-8\Big[e^{6ix}+e^{-6ix}\Big]+28\Big[e^{4ix}+e^{-4ix}\Big]-56\Big[e^{2ix}+e^{-2ix}\Big]+70\Bigg)\;dx= $$ $$ =\frac{1}{2^7}\int \Bigg(\cos(8x) -8\cos(6x)+28\cos(4x)-56\cos(2x)+35\Bigg)\;dx= ... $$

ссылка

отвечен 17 Сен '15 23:32

изменен 18 Сен '15 0:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,924
×1,299

задан
24 Мар '15 20:23

показан
846 раз

обновлен
18 Сен '15 0:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru