Дан произвольный тетраэдр. Каждой грани поставим в соответствие вектор, перпендикулярный ей, выходящий из тетраэдра и по длине равный площади грани. Доказать, что сумма этих четырех векторов равна нулю (или сказать название теоремы...)

задан 24 Мар '15 22:38

С точки зрения физики это очевидно, математически достаточно рассмотреть векторное произведение. Утверждение также следует из https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Минковского_о_многогранниках

(24 Мар '15 22:51) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: а как это доказать с помощью векторного произведения?

(24 Мар '15 22:54) student
1

@student: там надо правильно выбрать ориентацию граней. Допустим, я смотрю на ABC извне, буквы идут по часовой стрелке. Удвоенная площадь равна ABxAC=(B-A)x(C-A)=AxB+BxC+CxA, где A -- радиус-вектор точки A с произвольно выбираемым фиксированным началом O.

Сделаем так для всех граней, следя за ориентацией, и все суммы сократятся (если одна грань дала AxB, то соседняя даст BxA, что ясно из соображений ориентации).

(24 Мар '15 23:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пускай вектора $%\vec a,\vec b,\vec c$% образуют тетраэдр, тогда утверждение сводится к очевидному тождеству: $$\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec c+\vec c\times\vec a=(\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec a).$$

ссылка

отвечен 24 Мар '15 23:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,695
×471

задан
24 Мар '15 22:38

показан
723 раза

обновлен
24 Мар '15 23:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru