Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков найти предел суммы:

$$ \lim\limits_{n \rightarrow \infty }\sin \frac{\pi}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2+ \cos\frac{k\pi}{n}} $$

задан 25 Мар '15 0:10

изменен 25 Мар '15 8:40

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

При $%n\to\infty$% имеет место эквивалентность $%\sin\frac{\pi}n\sim\frac{\pi}n$%, поэтому знак синуса можно отбросить: на значение предела это не влияет. Тогда выражение под знаком предела примет вид интегральной суммы от функции $%f(x)=\frac1{2+\cos x}$% на отрезке $%[0;\pi]$%. При разбиении его на $%n$% равных частей, они имеют длины $%\frac{\pi}n$%, и на эту величину домножается сумма значений функции в точках разбиения. Сами эти точки имеют вид $%\frac{k\pi}n$%, где $%1\le k\le n$% (правые концы отрезков).

Таким образом, предел рассматриваемых интегральных сумм будет равен $%I=\int\limits_0^{\pi}\frac{dx}{2+\cos x}$%. Значение этого интеграла можно вычислить при помощи универсальной тригонометрической замены $%t=\tan\frac{x}2$%. Здесь получится, что $%2+\cos x=2+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{3+t^2}{1+t^2}$% и $%dx=2d(\arctan t)=\frac{2dt}{1+t^2}$%. При этом $%t$% принимает значения от $%0$% до бесконечности. Поэтому $%I=2\int\limits_0^{\infty}\frac{dt}{t^2+3}$%. Первообразная здесь равна $%\frac1{\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3}$%. Значение в нуле равно нулю, а на бесконечности будет $%\frac{\pi}{2\sqrt3}$%. Поэтому значение предела из условия равно $%I=\frac{\pi}{\sqrt3}$%.

ссылка

отвечен 25 Мар '15 0:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×73

задан
25 Мар '15 0:10

показан
781 раз

обновлен
25 Мар '15 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru