Найдите все значения параметра $%a$%, при каждом из которых неравенство $%a \cos^4(x)+2\sin^2(x)+4a>5$% выполняется для всех $%x$%.

задан 25 Мар '15 5:59

изменен 25 Мар '15 8:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

$%a > 1$% получается.

(25 Мар '15 8:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$a\cos^4x+2-2\cos^2 x+4a-5 > 0$$ Заменой $%t=\cos^2 x$% Приводится к виду $$at^2-2t+4a-3>0,$$ где $%0\leqslant t \leqslant 1$%.

При $%a=0$% получаем линейную левую часть $%-2t-3 > 0$%. Ясно, что на отрезке $%[0;1]$% оно неверно.

В остальных случаях график левой части - парабола с вершиной $%(1/a;4a-3-1/a)$%.

Далее случаи:

$%a\geqslant 1$%, тогда вершина должна быть выше оси $%Ox$%, то есть $%4a-3-1/a>0$%. Тогда получаем неравенство $$\frac{4a^2-3a-1}{a}>0,$$ которое при условии положительности $%a$% равносильно $%4a^2-3a-1>0$%. На указанном интервале оно имеет решение $%a>1$%.

Второй случай: $%0<a<1$%, и левая ветвь параболы удовлетворяет условию $%y(1)>0$%, откуда $%a>1$%, то есть такой случай невозможен.

Третий вариант $%a<0$% и условие $%y(1)>0$%, что тоже невозможно.

ссылка

отвечен 25 Мар '15 9:55

изменен 25 Мар '15 9:58

1

Можно также переписать неравенство в виде $%a > \frac{2t+3}{t^2+4}$% и проверить, что функция в левой части возрастает на отрезке от 0 до 1. Тогда максимум достигается при t=1, и он равен 1, откуда $%a > 1$%.

(25 Мар '15 11:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×35

задан
25 Мар '15 5:59

показан
381 раз

обновлен
25 Мар '15 13:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru