Собственно, вопрос в заголовке. Я думал, что это доказывается через представление в координатах, но оно получается из линейности...

задан 25 Мар '15 14:23

Вообще-то линейность векторного произведения по каждому из аргументов требуется по определению. Поэтому это доказывать не надо. Если, конечно, векторное произведение не вводится каким-нибудь волшебным способом.

(25 Мар '15 14:35) cartesius

Было определение, что это вектор, по модулю равный произведению длин векторов на синус угла между ними и указывалось правило определения его направления. Отсюда линейность не очевидна, мне кажется.

(25 Мар '15 14:41) student

Да, в таком случае надо доказывать.

(25 Мар '15 14:53) cartesius

Кажется, я могу доказать $%\lambda [a\vec,b\vec] = [\lambda a \vec, b\vec]$% просто через длину вектора, но то, что произведение вектора на сумму двух других есть сумма произведений, не знаю, как.

(25 Мар '15 15:01) student

Боюсь ошибиться в последовательности изложения материала, но мне кажется, можно сначала доказать формулу для вычисления координат векторного произведения через определитель, тогда линейность будет очевидна.

(25 Мар '15 15:34) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
0

Во-первых, очевидно, что смысл величины $%([u,v],e)$% - смешанное произведение векторов $%u(x_1,y_1,z_1),v(x_2,y_2,z_2),e$% - это объем параллелепипеда, натянутого на них, если тройка векторов положительно ориентирована. Отсюда следует в частности, что $%([u,v],e)=([e,u],v)$% - имеет место линейность по 2-му аргументу.

Но тогда легко видеть, что $$([u,x_2i],j)=x_2(u,[i,j])=x_2(u,k)=x_2z_1= \begin{vmatrix}0 & 1 & 0\newline x_1 & y_1 & z_1\newline x_2 & 0 & 0\end{vmatrix},$$ $$([u,y_2j],j)=y_2(u,[j,j])=0$$ и $$([u,z_2k],j)=z_2(u,[k,j])=-z_2(u,i)=\begin{vmatrix}0 & 1 & 0\newline x_1 & y_1 & z_1\newline 0 & 0 & z_2\end{vmatrix}$$

В силу линейности по второму аргументу имеем $$([u,v],j)=\begin{vmatrix}0 & 1 & 0\newline x_1 & y_1 & z_1\newline x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}$$

Аналогично проверяем условие для $%i$% и $%k$%.

Пусть $%[u,v]$% - векторное произведение. Тогда его координаты в ортонормированном базисе $%i,j,k$% выражаются как $%([u,v],i)$%, $%([u,v],j)$%, $%([u,v],k)$%.

Если на этом этапе известна формула для вычисления смешанного произведения через определитель, то очевидно, что $$[u,v]=([u,v],i)i+([u,v],j)j+([u,v],k)k= $$ $$=\begin{vmatrix}i & 0 & 0\newline x_1 & y_1 & z_1\newline x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0 & j & 0\newline x_1 & y_1 & z_1\newline x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0 & 0 & k\newline x_1 & y_1 & z_1\newline x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}=$$ $$=\begin{vmatrix}i & j & k\newline x_1 & y_1 & z_1\newline x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}$$

Далее, используя свойства определителя, линейность очевидна.

ссылка

отвечен 25 Мар '15 15:47

изменен 25 Мар '15 16:22

10|600 символов нужно символов осталось
0

Доказательство дистрибутивности по сложение векторов при вашем определении - нетривиальная штучка, которую Вы найдете в учебнике для университета. Или с хитростями здесь, стр 62

http://www.alleng.ru/d/math/math358.htm

Формула для вычисления в базисе векторного произведения при доказательстве существенно опираются на аддитивность его

ссылка

отвечен 25 Мар '15 15:51

изменен 25 Мар '15 15:54

10|600 символов нужно символов осталось
0

Аналогичная проблема возникает при доказательстве линейности скалярного произведения, если его определять как в школе, то есть через произведение длин векторов на косинус угла. В том учебнике, по которому я учился, доказательство было, но оно шло как бы "мелким шрифтом". То есть оно действительно сложное.

Чтобы избежать этих трудностей, я бы поступил так. Выбрал систему координат, и задал операцию, которая заведомо является линейной, что не надо даже проверять. И после этого доказал бы, что она совпадает со "школьной", причём результат не зависит от выбора системы координат (в этом как раз преимущество "инвариантного" определения).

Вот как это выглядело бы для векторов на плоскости. Скалярное произведение $%a=(a_1,a_2)$% на $%b=(b_1,b_2)$% полагается равным $%a_1b_1+a_2b_2$% по определению. Теперь записываем каждый вектор в виде $%a=|a|(\cos\varphi_1,\sin\varphi_1)$% и $%b=|b|(\cos\varphi_2,\sin\varphi_2)$%. При перемножении координатным способом получается $%|a|\cdot|b|\cdot(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)$%. Остаётся заметить, что в скобках содержится косинус разности углов: $%\cos(\varphi_1-\varphi_2)$%. Ясно, что углы можно задать так, что это и будет в точности угол между векторами, согласно определению (нужно, чтобы он лежал в пределах от $%0$% до $%\pi$%).

Для векторного произведения возможен аналогичный подход. То есть задаём его координатно, что делается однозначно с учётом правил перемножения единичных векторов базиса. Получаются некие общие формулы. Операция эта линейна, и проверить надо только то, что для двух векторов она даёт общий перпендикуляр, направленный куда следует -- это проверить легко, а также то, что модуль равен площади параллелограмма.

Последнее условие можно проверить аналитически: нам достаточно сравнить квадрат площади и квадрат длины того, что мы определили как векторное произведение. Второе мы знаем в виде явной формулы. Чтобы найти первое, нам нужен квадрат синуса угла (квадраты длин векторов через координаты выражаются просто), а он выражается через квадрат косинуса. Сам косинус выражается через координаты по теореме косинусов.

Таким образом, здесь остаётся сравнить два аналитических выражения. Они должны совпасть.

Этот путь связан с некоторыми вычислениями, но они не такие уж и сложные. Их надо проделать один раз, и будет строгое доказательство свойства линейности. Геометрический путь тоже возможен, но я боюсь, что это будет сложнее. А также векторы хороши тем, что там не надо анализировать разные случаи расположения точек.

ссылка

отвечен 25 Мар '15 21:51

Такое координатное определение уже было в учебниках советской школы. А вот сложность доказательства при обычном определении легко обойти, связав ск. произведение с проекцией одного сомножителя на другой. А аддитивность геометрического (и далее алгебраического) проектирования легко усматривается сложением по правилу треугольника (многоугольника). А вот с векторным произведением, увы...

(25 Мар '15 22:22) spesiv
10|600 символов нужно символов осталось
0

"П р е д л о ж е н и е $%$% 6. $%$% Для любых векторов $%\textbf a, \textbf b$% и $%\textbf c$% и любых чисел $%\lambda$% и $%\mu$% имеет место равенство

$$[\lambda \textbf a+\mu \textbf b, \,\,\textbf c]=\lambda [\textbf a, \,\,\textbf c]+\mu [\textbf b, \,\,\textbf c].$$

Для доказательства воспользуемся линейностью смешанного произведения по второму сомножителю:

$$(\textbf d, \,\,[\lambda \textbf a+\mu \textbf b, \,\,\textbf c])=\lambda (\textbf d, \,\, [\textbf a, \,\,\textbf c])+\mu (\textbf d, \,\,[\textbf b, \,\,\textbf c]).$$

Это равенство имеет место при всех $%\textbf d$%. Мы можем выбрать ортонормированный базис $%\textbf e_1, \textbf e_2, \textbf e_3$% и подставить вместо $%\textbf d$% последовательно каждый вектор этого базиса ... мы получим равенство всех компонент векторов $%[\lambda \textbf a+\mu \textbf b, \,\,\textbf c]$% и $%\lambda [\textbf a, \,\,\textbf c]+\mu [\textbf b, \,\,\textbf c]$%, а отсюда и равенство векторов, которое нам нужно было доказать."

(Беклемишев. file:///C:/Users/Vplia/Downloads/Beklemishev_Kurs%20analiticheskoi.pdf, стр.25.)

То есть $%(\textbf e_1, \,\,[\lambda \textbf a+\mu \textbf b, \,\,\textbf c]),\,\,\,\lambda (\textbf e_1, \,\, [\textbf a, \,\,\textbf c]), \,\,\,\mu (\textbf e_1, \,\,[\textbf b, \,\,\textbf c])$% это координаты соответственно векторов

$%[\lambda \textbf a+\mu \textbf b, \,\,\textbf c], \,\,\,\lambda [\textbf a, \,\,\textbf c], \,\,\,\mu [\textbf b, \,\,\textbf c]$% по $%\textbf e_1$% и так далее.

"Аналогично можно доказать линейность векторного произведения по второму сомножителю."

Там же.

Еще одно доказательство можно найти здесь http://math.phys.msu.ru/data/24/Lecture04.pdf на стр. 6.

ссылка

отвечен 10 Сен 0:25

изменен 10 Сен 0:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×216

задан
25 Мар '15 14:23

показан
4509 раз

обновлен
10 Сен 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru