Найти $%\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_{0}^{1} f(nx)dx$%, если функция $%f$% непрерывна на промежутке $%[0;+\infty)$% и $%\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$%.

задан 29 Мар '15 18:20

перемечен 29 Мар '15 20:24

trongsund's gravatar image


3.2k113

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответом, очевидно, должно быть число $%A$%, так как именно оно будет значением предела для случая постоянной функции. Заменяя $%f(x)$% на $%f(x)-A$%, сводим всё к случаю $%A=0$%. Нам при этом дано, что функция стремится к нулю на бесконечности, и надо доказать, что предел тоже равен нулю.

Легко видеть, что $%f(x)$% ограничена на $%x\in[0;+\infty)$%. Действительно, для любого $%\varepsilon > 0$% существует $%x_0=x_0(\varepsilon)$% такое, что при всех $%x\ge x_0$% имеет место неравенство $%|f(x)| < \varepsilon$%. Тогда берём $%x_0=x_0(1)$%, и получаем, что $%f(x)$% ограничена как на отрезке $%[0;x_0]$%, будучи непрерывной, так и на луче $%[x_0;+\infty)$%. Таким образом, $%|f(x)|\le C$% при всех $%x\ge0$% для некоторой константы $%C > 0$%.

Пусть $%\varepsilon > 0$% произвольно. Положим $%x_0=x_0(\varepsilon/2)$%, и пусть $%n_0=2Cx_0/\varepsilon$%. Тогда при всех $%n > n_0$% и $%x\in[\frac{\varepsilon}{2C};1]$% справедливо неравенство $%nx > n_0x\ge \frac{\varepsilon n_0}{2C}=x_0$%, и потому $%|f(nx)| < \varepsilon/2$%. Следовательно, $%\int\limits_{\varepsilon/(2C)}^1|f(nx)|\,dx < \varepsilon/2$%. С другой стороны, $%\int\limits_0^{\varepsilon/(2C)}|f(nx)|\,dx\le C\cdot\frac{\varepsilon}{2C}=\varepsilon/2$%, откуда $%|\int\limits_0^1f(nx)\,dx|\le\int\limits_0^{\varepsilon/(2C)}|f(nx)|\,dx+\int\limits_{\varepsilon/(2C)}^1|f(nx)|\,dx < \varepsilon$% при всех $%n\ge n_0$%, то есть предел равен нулю.

ссылка

отвечен 29 Мар '15 19:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из определения предела следует, что $%\forall \varepsilon>0\;\exists n\in\mathbb N\;\forall x>n\;|f(x)-A|<\varepsilon.\!$%Пусть $%\sup |f(x)| = M$%(он конечен, т.к. функция непрерывна на положительном луче). Тогда $%\forall\varepsilon>0\;\exists n\;\forall m>n^2\;|\int\limits_0^1f(mx)\,dx-A|<\varepsilon+\dfrac{2M}{n},$% а значит, предел интеграла равен $%A.$%

ссылка

отвечен 29 Мар '15 18:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,552
×734
×647
×129

задан
29 Мар '15 18:20

показан
881 раз

обновлен
29 Мар '15 20:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru