Стороны треугольника равны 7, 8 и 12. Найдите длину биссектрисы, проведенной к стороне длиной 12.

задан 29 Мар '15 19:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

Найдём косинус угла напротив стороны 12: по теореме косинусов он равен $%\dfrac{8^2+7^2-12^2}{2\cdot7\cdot8}=-\dfrac{31}{112}.$% Косинус его половины равен $%\dfrac{9}{4\sqrt{14}},$% отсюда по формуле длины биссектрисы получаем $%\dfrac{112}{15}\cdot\dfrac{9}{4\sqrt{14}}=\dfrac{6\sqrt{14}}{5}.$%

ссылка

отвечен 29 Мар '15 20:23

@trongsund, По формуле длины биссектрисы, проведенной к стороне $%a$%, она равна $$\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c}.$$

(29 Мар '15 20:38) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть длина биссектрисы, проведенной к стороне длиной $%a$%, равна $%x$%. Пусть угол, противолежащий $%a$%, равен $%2\alpha$%. Тогда $%\alpha$% - острый.

Подсчитывая площадь треугольника по теореме синусов двумя способами, получаем $$bx\sin\alpha+cx\sin\alpha=bc\sin2\alpha=2bc\sin\alpha\cos\alpha.$$

Откуда $$x=\frac{2bc\cos\alpha}{b+c}$$

По теореме косинусов $$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cos2\alpha=2\cos^2\alpha - 1,$$ откуда $$\cos\alpha=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{4bc}}.$$

Подставляя в формулу для $%x$%, получим $$x=\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c}.$$

ссылка

отвечен 29 Мар '15 20:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,595
×844

задан
29 Мар '15 19:57

показан
912 раз

обновлен
29 Мар '15 20:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru