|
Как доказать, что если функция $%f(x,y)$% в области $%G$% непрерывна по $%x$%, а по $%y$% удовлетворяет условию Липшица, т.е. $%|f(x;y')-f(x;y'')|\le L|y'-y''|$%, $%L-const$%, то $%f(x;y)$% непрерывна в $%G$%. задан 31 Май '12 1:42 
lolis |
|
Эскиз доказательства. Приращение $%\Delta f = f(x', y') - f(x, y)$% можно представить как сумму приращений по x и по y, т.е. $%\Delta_x f = f(x', y) - f(x, y)$% и $%\Delta_y f = f(x', y') - f(x', y)$%. Первое приращение можно сделать малым (меньше $%\varepsilon /2$%) за счет выбора $%x'$% достаточно близко к x. После этого можно выбрать $%y'$% так, чтобы малым было $%\Delta_y f$%. Для этого достаточно сделать так, чтобы $%L(y' - y) <\varepsilon/2$%. Это неравенство выполняется за счет $%y'$% независимо от выбора x'. отвечен 31 Май '12 2:15 
DocentI |
|
$%\left| \Delta f(x,y) \right| =\left| f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) \right| =\left| f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \right| \le \\ \le \left| f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y) \right| +\left| f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \right| <\frac { \varepsilon }{ 2 } +L\left| \Delta y \right| <\frac { \varepsilon }{ 2 } +L\frac { \varepsilon }{ 2L } =\varepsilon .$% отвечен 31 Май '12 13:02 
Anatoliy Ну и зачем это? Не стоило давать полное решение. Достаточно было подсказки, автор не дурак, разбирается в теме.
(31 Май '12 13:19)
DocentI
1
Насколько по полноте это решение отличается от предыдущего? Я лишь хотел обратить внимание на форму записи решения.
(31 Май '12 14:11)
Anatoliy
Кстати, верно и более слабое утверждение - гёльдерова функция является непрерывной.
(31 Май '12 14:29)
Fedya
Я и не претендовала на аккуратную запись, написано, что эскиз. А если давать полную запись, то надо указывать окрестность точки (x, y), в которой все это выполняется.
(31 Май '12 16:11)
DocentI
|
Вы пропустили слово "если". Видимо, должно быть так:
Пропустил! Извините!