|
Пусть $%u=f(x,y,z)$% - дважды дифференцируемая функция и $%L_1$%($%cosA_1;cosB_1,cosC_1$%), $%L_2$%($%cosA_2;cosB_2,cosC_2$%), $%L3$%($%cosA_3;cosB_3,cosC_3$%) - три взаимно перпендикулярные направления. Как доказать, что $%(dy/dL1)^2+(dy/dL2)^2+(dy/dL3)^2$%=$%(du/dx)^2(du/dy)^2(du/dz)^2$% задан 31 Май '12 5:05 
lolis |
|
Пусть $%grad (u) = ({\partial u \over \partial x}, {\partial u \over \partial y}, {\partial u \over\partial z})$%. ТОгда $%{\partial u\over\partial l} = (gard u, l)$%. Квадрат этого выражения равен квадрату градиента, умноженному на квадрат косинуса угла между градиентом и направлением $%l$%. Значит, задача сводится к тому, что сумма квадратов углов, которые градиент составляет с направлениями $%l_1, l_2, l_3$%, равна 1. Это легко доказать, если перейти в систему координат, образованную этими векторами. отвечен 31 Май '12 11:58 
DocentI |
Видимо, в последнем равенстве слева должны стоять производные от u, а не от y? А справа = сумма, а не произведение.