Изменить порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла. Область интегрирования изобразить на чертеже $%\int_0^1 dy \int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}} f(x;y) dx + \int_{-1}^0 dy \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x;y) dx$%

График: link text

Область интегрирования: $%D=D_1 \cup D_2$%

$%D_1=\begin{cases} -\sqrt{1-y} \leq x \leq\sqrt{1-y} \\0 \leq y \leq1\end{cases} $%

$%D_2=\begin{cases} -\sqrt{1-y^2} \leq x \leq\sqrt{1-y^2} \\-1 \leq y \leq 0\end{cases} $%

Изменим порядок обхода области:

$%\begin{cases} -\sqrt{1-x^2} \leq y \leq 1-x^2 \\-1 \leq x \leq1\end{cases} $%

Ответ:$%\int_{-1}^1 dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2} f(x;y) dy $%

задан 1 Апр '15 19:44

изменен 2 Апр '15 11:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

В принципе, ответ здесь верный, но кое-что имеет смысл прокомментировать.

"Правило перехода к обратным функциям" -- это вещь достаточно сомнительная. Его в такой форме лучше не применять. Проще рассуждать так. У нас имеется двойное неравенство $%-\sqrt{1-y}\le x\le\sqrt{1-y}$%. Оно равносильно неравенству с модулем: $%|x|\le\sqrt{1-y}$%. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат, и получится равносильное неравенство $%x^2\le1-y$%, то есть $%y\le1-x^2$%. Строим график (параболу) $%y=1-x^2$%, берём область ниже этого графика, и учитываем ограничение $%0\le y\le 1$%. Получается область $%D_1$% между этим графиком и осью абсцисс.

Уравнения $%y=x^2+1$% здесь нигде не возникает. Это результат алгебраической ошибки. Поэтому самый верхний график здесь лишний.

Для области $%D_2$% аналогично получаем неравенство $%|x|\le\sqrt{1-y^2}$% и далее $%x^2\le1-y^2$%. Это уравнение круга: $%x^2+y^2\le1$%. Нас интересует часть нижняя часть этого круга с учётом неравенства $%-1\le y\le0$%. Это и есть $%D_2$%.

Теперь мы видим на рисунке область $%D$% из двух частей, и расставляем пределы интегрирования. Получается $%-1\le x\le1$%, и при фиксированном $%x$% границы для $%y$% таковы: $%-\sqrt{1-x^2}\le1-x^2$%. Слева -- уравнение нижней границы области (полуокружность); справа -- уравнение верхней границы (парабола).

Выражение "порядок обхода тела" некорректно, так как трёхмерного тела здесь нет.

ссылка

отвечен 1 Апр '15 21:35

@falcao такой график следует построить?

(2 Апр '15 11:17) s1mka

@s1mka: график в принципе такой должен быть, как сейчас на картинке. Можно ещё заштриховать саму область, а также написать уравнения обеих кривых для удобства, но это уже как бы мелочи.

(2 Апр '15 13:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,600
×1,852
×1,262
×98

задан
1 Апр '15 19:44

показан
1725 раз

обновлен
2 Апр '15 13:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru