1
1

$%\begin{cases}\frac{dx}{dt}=x+y\\\frac{dy}{dt}=-5x-3y\end{cases} $%

Составляем определитель второго порядка:

$% \begin{bmatrix}1 & 1 \\-5 & -3 \end{bmatrix} $%

Составим и решим характеристическое уравнение:

$% \begin{bmatrix}1-k & 1 \\-5 & -3-k \end{bmatrix} $%

$%(1-k)(-3-k)+5=0$%

$%k^2+2k+2=0$%

$%D=4-8=-4$%

$%k=-1 \pm i$%

Для корня $%k_{1}=-1+i$% находим собственный вектор $%(V_1,V_2)$%:

$%\begin{cases}(2-i)V _1 +V_2=0\\-5V_1-(2+i)V_2=0\end{cases} $%

Можно взять $%V_1=1, V_2=i-2,$% следовательно имеет частное решение $%x(t)=e^{(-1+i)t},y(t)=(i-2)e^{(-1+i)t}$%.

Так как данная система с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню $%k_{1}=-1-i$%, можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с найденным решением. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решения. Так как $%e^{(-1+i)t}=e^{-t}(\cos (t)+i\sin (t))$%, то

$%\begin{cases}x_1(t)=Re * e^{(-1+i)t}=e^{-t}\cos (t)\\y_1(t)=Re *(i-2)e^{(-1+i)t}=e^{-t}(\cos (t)-2\sin (t))\end{cases} $%

$%\begin{cases}x_2(t)=Im * e^{(-1+i)t}=e^{-t}\sin (t)\\y_2(t)=Im *(i-2)e^{(-1+i)t}=-e^{-t}(2\cos (t)+\sin (t))\end{cases} $%

Общее решение выражается через два найденных линейно независимых решений:

$%\begin{cases}x(t)=C_1x_1(t)+C_2x_2(t)=C_1e^{-t}\cos (t)+C_2e^{-t}\sin (t)\\y(t)=C_1y_1(t)+C_2y_2(t)=C_1e^{-t}(\cos (t)-2\sin (t))-C_2e^{-t}(2\cos (t)+\sin (t))\end{cases} $%

задан 2 Апр '15 18:33

изменен 4 Апр '15 18:40

@s1mka: внизу уже нет места; пишу здесь. Вы не до конца сделали то, о чём я говорил. Производные найдены, но теперь надо сравнить одно с другим. Там было сказано, что и с чем надо сравнивать.

(4 Апр '15 16:47) falcao

@falcao я приравняла, но у меня что-то не так, обьясните пожалуйста что я делаю не так

(4 Апр '15 17:18) s1mka

@s1mka: то, что Вы написали в качестве проверки, не содержит пока самого главного -- итогового вывода. Равны или не равны выражения $%x'(t)$% и $%x(t)+y(t)$%? У меня при беглом взгляде сложилось ощущение, что не равны.

(4 Апр '15 17:20) falcao

Вот-вот, мне тоже показалось, что проверка не подтверждает найденные решения. Искать ошибку в вычислениях мне не хочется -- если хотите, могу всё решить "с нуля" другим способом.

(4 Апр '15 17:22) falcao

@falcao буду очень признательна, если вы решите, а я потом попробую разобраться, где я ошиблась, ведь ответы то должны быть одинаковые

(4 Апр '15 17:31) s1mka
1

@s1mka: итоговый ответ имеет похожую форму, а ошибка у Вас при нахождении $%V_1$% и $%V_2$%. Там одно из чисел надо брать со знаком "минус", чтобы в сумме был ноль.

(4 Апр '15 17:58) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Из первого уравнения $%y=x'-x$%. Подставляем во второе: $%y'=-5x-3y$% даёт $%x''-x'=-5x-3x'+3x$%, то есть $%x''+2x'+2x=0$%. Характеристическое уравнение $%k^2+2k+2=0$% имеет мнимые корни $%k=-1\pm i$%. Это значит, что фундаментальная система решений имеет вид $%e^{-t}\cos t$% и $%e^{-t}\sin t$%. Отсюда $%x(t)=e^{-t}(C_1\cos t+C_2\sin t)$% для некоторых констант.

Выражая $%y$% по формуле $%y=x'-x$%, имеем $%y(t)=e^{-t}(C_1(\cos t-2\sin t)-C_2(2\cos t+\sin t))$%.

Ответ можно также представить в векторном виде: $%x(t),y(t))=C_1(e^{-t}\cos t;e^{-t}\cos t-2\sin t)+C_2(e^{-t}\sin t;-e^{-t}(2\cos t+\sin t))$%.

ссылка

отвечен 4 Апр '15 17:56

@falcao, спасибо огромное теперь я поняла что я изначально у-ки неправильно нашла, только х-ы правильно

(4 Апр '15 18:12) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
1

В этом случае решение имеет вид $$ X=C_1\,Re\left(e^{\lambda t}H\right)+C_2\,Im\left(e^{\lambda t}H\right), $$ где $%\lambda$% - один из комплексных корней, а $%H$% - соответствующий ему собственный вектор...

ссылка

отвечен 2 Апр '15 18:42

Всё так же как и при действительных конях... решаете систему $%(A-\lambda E)H=0$% ... затем подставляете в формулу общего решения... при умножении комплексных чисел не забываете про то, что $%e^{a+ib}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$% ... и будет Вам счастье ... )))

(2 Апр '15 18:58) all_exist
1

@s1mka, ну, вообще-то $%1-(i-1) = 2-i$%...

(2 Апр '15 23:18) all_exist

@s1mka: я не смотрел решение этой задачи вообще, но заметил сейчас, что Вам @all_exist в прошлый раз сделал замечание, а у Вас всё осталось как было. Посмотрите на первую систему -- когда $%k=-1+i$%. Чему равно $%1-k$%? Надо вспомнить школьное правило "минус на минус даёт плюс".

(3 Апр '15 17:19) falcao

@s1mka: а Вы сделайте проверку сами! Это будет полезно. Получили x(t), y(t). Найдите их производные по t, и посмотрите, правда ли, что получатся x+y и -5x-3y из условия.

(3 Апр '15 18:00) falcao

@s1mka: у Вас есть функции от t. Легко найти их производные, а потом сравнить одно с другим. Если решено верно, всё должно совпасть. Мнимых чисел в ответе уже нет -- это был вспомогательный аппарат для нахождения решения.

(3 Апр '15 18:25) falcao

@s1mka: я уже говорил, что надо делать. Повторю ещё раз. У Вас есть формулы, которые получены в ответе. Надо проверить, в самом ли деле они верны, то есть удовлетворяют условию (системе). Для этого надо найти x'(t) и y'(t) по правилам дифференцирования. Записи для x(t) и y(t) включают константы C1, C2. Значит, и в записи для производных будут эти же константы. То есть, из производных функций e^{-t}cos(t) и e^{-t}sin(t), а также этих констант, будут состоять выражения для x'(t) и y'(t). Их надо выписать явно. А потом проверить, правда ли, что x'(t)=x(t)+y(t), и так же для второго условия.

(3 Апр '15 22:22) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,793
×1,952
×1,118
×319

задан
2 Апр '15 18:33

показан
1049 раз

обновлен
4 Апр '15 18:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru