|
Основание пирамиды SABCD прямоугольник ABCD с не равними сторонами. Высота пирамиды SB. Верно ли утверждение, что в пирамиду можно вписать шар? задан 31 Май '12 18:05 
ASailyan |
|
Рассмотрим шар, вписанный в трехгранный угол, образованный плоскостями АBS, CBS, ABC. Проведем к этому шару касательные плоскости через прямые AD и DC. Ответ: если ABCD - не квадрат, то в пирамиду шар вписать нельзя. Пояснение (ответ на комментарий). Я изначально не рассматриваю пирамиду, а рассматриваю систему "трехгранный угол с вложенным в него шаром + еще 2 плоскости, касающиеся шара" и решаю задачу "при каких условиях рассматриваемая конструкция превратится в пирамиду?". Условие превращения этой геометрической конструкции в пирамиду - это условие X=Y = S (изначально в нашем решении точка S - это просто указатель направления прямой BS, вершина пирамиды появляется только при совпадении точек X и Y ). Т.к. две системы 1) "трехгранный угол + первая плоскость", 2)"трехгранный угол + вторая плоскость" отличаются друг от друга только поворотом на 90 градусов, то условие совпадения точек X и Y - это условие совпадения двух плоскостей после такого поворота, а совпадение возможно только в том случае, если плоскости пересекают плоскость основания под одним и тем же углом. Отсюда и следует вывод "Рассматриваемая конструкция является пирамидой, только если основание - квадрат". отвечен 2 Июн '12 0:29 
Андрей Юрьевич Не понимаю про расстояний BX и BY. AD и DC находятся на разном расстоянии от противоположных граней,но плоскости ADS и CDS пересекают высоту в одном точке S. Как совпадение X и Y связано тем,что плоскости касаются шара?
(2 Июн '12 12:18)
ASailyan
Все равно Вы мне не убедили,но за решение Вам спасибо и 10 очков.
(3 Июн '12 1:18)
ASailyan
Не убедил в чем?
(3 Июн '12 1:20)
Андрей Юрьевич
В правильности решения.
(3 Июн '12 1:28)
ASailyan
Значит Вы считаете, что в моем решении есть ошибка? В чем же она по Вашему мнению заключается?
(3 Июн '12 1:35)
Андрей Юрьевич
Мне трудно сейчас обяснить, и уже поздно, у нас 01:40. Пусть останется на завтра.
(3 Июн '12 1:42)
ASailyan
Завтра - так завтра, спешить, в общем-то, некуда. Спокойной ночи.
(3 Июн '12 1:45)
Андрей Юрьевич
Андрей Юрьевич, в Вашем решении нет ошибок. Решение оригинальное. От себя ( по своему решению), если основание квадрат, то вписать шар можно и радиус находится по формуле, указанном в моем решении.
(3 Июн '12 11:22)
Anatoliy
Спасибо, @Anatoliy, я тоже думаю, что решение правильное.
(3 Июн '12 13:37)
Андрей Юрьевич
показано 5 из 9
показать еще 4
|
|
Уточнение. Функция $%y=x+f-\sqrt { { x }^{ 2 }+{ f }^{ 2 } }$% является возрастающей, поэтому при неравных a и b вписать шар в пирамиду нельзя. отвечен 1 Июн '12 12:35 
Anatoliy Спасибо за решение. Он очень близко моего решения.После доказательства,что радиусь шара равен радиусам вписанных окружностей треугольников SBC и SBA, онозначила $% SB=h, <ASB=\alpha, <CSB=\beta $%, и от уравнений $%r=(h-r)tg\alpha/2,$% и $%r=(h-r)tg\beta/2$% , получила что $% r=\frac{htg\alpha/2}{1+tg\alpha/2}, r=\frac{htg \beta/2}{1+tg \beta /2}$%. Получается $% \frac{htg\alpha/2}{1+tg\alpha/2}=\frac{htg\beta/2}{1+tg\beta/2} \Rightarrow \alpha=\beta,$% что противоречит условию.Вам 10 очков. Если не будет лучшее решение, приму ваше решение.
(1 Июн '12 14:59)
ASailyan
Мое решение лучше!
(13 Июн '14 1:59)
ASailyan
|
|
Пусть имеется правильная 4-хгранная пирамида. В неё можно вписать бесчисленное множество шаров. Выполним сечение пирамиды, ортогональное какому-либо её ребру согласно условию задачи. В сечении образуется ромбовидная фигура с диагоналями, взаимно перпендикулярными друг другу. Пусть противоположные стороны фигуры будут a и b(для определённости:a < b). Ни один из углов фигуры не равен прямому. Развернём стороны a относительно их общей точки таким образом, чтобы угол между ними стал равен прямому. И в этом случае во вновь образованную фигуру невозможно вписать окружность (а значит, в пирамиду - шар) до тех пор, пока a не равно b (т. е. пока производится ортогональное ребру сечение пирамиды). А если a = b, то пирамида (в пределе)становится прямой призмой, в основании которой лежит квадрат, и в призму можно вписать бесчисленное множество шаров. Если же, согласно условию задачи, соседние стороны сечения пирамиды не равны между собою, то пирамида не может быть правильной, и вписать в неё шар невозможно. отвечен 10 Июн '12 22:17 
nikolaykruzh... 1)В задаче 5-игранная пирамида. 2)Число вписанных в пирамиду шаров не может быть больше одного. 3)Чтобы в пирамиду можно была вписать шар, не обьязательно чтобы пирамида была правильной. Достаточно(но не необходимо),чтобы в основание пирамиды можно была вписать окружность и проекция вершины была центром этой окрожности.
(10 Июн '12 22:32)
ASailyan
Думаю, что пирамида все же 4-хгранная, хотя многоугольник - пятигранный (как в задаче-шутке: сколько граней у шестигранного карандаша? Восемь).
(10 Июн '12 23:49)
DocentI
Пока некогда вникать, много дел в семье. 16 числа я еду преподавать в физ-мат лагерь (без ребенка), там будет время подумать над всяким задачами.
(11 Июн '12 0:36)
DocentI
2)Не спорю, хотя я рассматривал бездонную, бесконечную пирамиду 3)Вы правы, уважаемая @ASailyan: шар можно вписать не только в правильную пирамиду. Поэтому моё решение не является полным, а следовательно, правильным
(11 Июн '12 9:42)
nikolaykruzh...
Продолжаю. Шар (окружность), кроме квадрата, можно вписать ещё в ромб (т. е. прямая пирамида в нормальном к её оси сечении имеет ромб) . Пусть ромб выбран таким, что ортогональное сечение к ребру с тупым углом даёт ромбовидную фигуру с прямым углом, требуемым условием задачи. Вписать в неё окружность нельзя. Таким образом, окончательный ответ: в пирамиду можно вписать шар только в том случае, если её нормальное сечение есть квадрат; в условии задачи это требование не соблюдается из-за различия сторон a и b, поэтому вписать шар невозможно
(12 Июн '12 8:47)
nikolaykruzh...
Ещё одно продолжение.Согласно условию Вашей задачи шар может быть вписан в пирамиду в том случае, если стороны четырёхугольника с длинами $%a, b, c и d$%, лежащего в основании пирамиды, обладают свойством: $%a + c = b + d$%, причём $%a и c, b и d$% - противоположные стороны четырёхугольника. Однако проекция вершины пирамиды, по условию задачи, не может совпасть с центром окружности, поэтому ответ тот же, что и прежде.
(12 Июн '12 18:33)
nikolaykruzh...
показано 5 из 6
показать еще 1
|