Основание пирамиды SABCD прямоугольник ABCD с не равними сторонами. Высота пирамиды SB. Верно ли утверждение, что в пирамиду можно вписать шар?
(Я решила задачу, но надеюсь, что у участников будет доказательство по лучше.)

задан 31 Май '12 18:05

изменен 13 Июн '14 1:58

10|600 символов нужно символов осталось
4

Рассмотрим шар, вписанный в трехгранный угол, образованный плоскостями АBS, CBS, ABC. Проведем к этому шару касательные плоскости через прямые AD и DC.
Пусть, эти плоскости пересекаются с прямой BS в точках X и Y соответственно. Расстояния BX и BY могут быть равны только в том случае, если прямые AD и DC находятся на одинаковом расстоянии от соответствующих противоположных граней трехгранного угла, в противном случае эти расстояния будут разными.
Таким образом, точки X и Y будут совпадать друг с другом (X=Y=S) )только в том случае, если ABCD - квадрат, в противном случае они не совпадают и соответственно, не являются вершиной пирамиды.

Ответ: если ABCD - не квадрат, то в пирамиду шар вписать нельзя.

Пояснение (ответ на комментарий). Я изначально не рассматриваю пирамиду, а рассматриваю систему "трехгранный угол с вложенным в него шаром + еще 2 плоскости, касающиеся шара" и решаю задачу "при каких условиях рассматриваемая конструкция превратится в пирамиду?". Условие превращения этой геометрической конструкции в пирамиду - это условие X=Y = S (изначально в нашем решении точка S - это просто указатель направления прямой BS, вершина пирамиды появляется только при совпадении точек X и Y ). Т.к. две системы 1) "трехгранный угол + первая плоскость", 2)"трехгранный угол + вторая плоскость" отличаются друг от друга только поворотом на 90 градусов, то условие совпадения точек X и Y - это условие совпадения двух плоскостей после такого поворота, а совпадение возможно только в том случае, если плоскости пересекают плоскость основания под одним и тем же углом. Отсюда и следует вывод "Рассматриваемая конструкция является пирамидой, только если основание - квадрат".

ссылка

отвечен 2 Июн '12 0:29

изменен 2 Июн '12 15:37

Не понимаю про расстояний BX и BY. AD и DC находятся на разном расстоянии от противоположных граней,но плоскости ADS и CDS пересекают высоту в одном точке S. Как совпадение X и Y связано тем,что плоскости касаются шара?

(2 Июн '12 12:18) ASailyan

Все равно Вы мне не убедили,но за решение Вам спасибо и 10 очков.

(3 Июн '12 1:18) ASailyan

Не убедил в чем?

(3 Июн '12 1:20) Андрей Юрьевич

В правильности решения.

(3 Июн '12 1:28) ASailyan

Значит Вы считаете, что в моем решении есть ошибка? В чем же она по Вашему мнению заключается?

(3 Июн '12 1:35) Андрей Юрьевич

Мне трудно сейчас обяснить, и уже поздно, у нас 01:40. Пусть останется на завтра.

(3 Июн '12 1:42) ASailyan

Завтра - так завтра, спешить, в общем-то, некуда. Спокойной ночи.

(3 Июн '12 1:45) Андрей Юрьевич

Андрей Юрьевич, в Вашем решении нет ошибок. Решение оригинальное. От себя ( по своему решению), если основание квадрат, то вписать шар можно и радиус находится по формуле, указанном в моем решении.

(3 Июн '12 11:22) Anatoliy

Спасибо, @Anatoliy, я тоже думаю, что решение правильное.

(3 Июн '12 13:37) Андрей Юрьевич
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Уточнение. Функция $%y=x+f-\sqrt { { x }^{ 2 }+{ f }^{ 2 } }$% является возрастающей, поэтому при неравных a и b вписать шар в пирамиду нельзя.

ссылка

отвечен 1 Июн '12 12:35

изменен 2 Июн '12 10:49

Спасибо за решение. Он очень близко моего решения.После доказательства,что радиусь шара равен радиусам вписанных окружностей треугольников SBC и SBA, онозначила $% SB=h, <ASB=\alpha, <CSB=\beta $%,

и от уравнений $%r=(h-r)tg\alpha/2,$% и $%r=(h-r)tg\beta/2$%

, получила что $% r=\frac{htg\alpha/2}{1+tg\alpha/2}, r=\frac{htg \beta/2}{1+tg \beta /2}$%.

Получается $% \frac{htg\alpha/2}{1+tg\alpha/2}=\frac{htg\beta/2}{1+tg\beta/2} \Rightarrow \alpha=\beta,$%

что противоречит условию.Вам 10 очков. Если не будет лучшее решение, приму ваше решение.

(1 Июн '12 14:59) ASailyan

Мое решение лучше!

(13 Июн '14 1:59) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть имеется правильная 4-хгранная пирамида. В неё можно вписать бесчисленное множество шаров. Выполним сечение пирамиды, ортогональное какому-либо её ребру согласно условию задачи. В сечении образуется ромбовидная фигура с диагоналями, взаимно перпендикулярными друг другу. Пусть противоположные стороны фигуры будут a и b(для определённости:a < b). Ни один из углов фигуры не равен прямому. Развернём стороны a относительно их общей точки таким образом, чтобы угол между ними стал равен прямому. И в этом случае во вновь образованную фигуру невозможно вписать окружность (а значит, в пирамиду - шар) до тех пор, пока a не равно b (т. е. пока производится ортогональное ребру сечение пирамиды). А если a = b, то пирамида (в пределе)становится прямой призмой, в основании которой лежит квадрат, и в призму можно вписать бесчисленное множество шаров. Если же, согласно условию задачи, соседние стороны сечения пирамиды не равны между собою, то пирамида не может быть правильной, и вписать в неё шар невозможно.

ссылка

отвечен 10 Июн '12 22:17

1)В задаче 5-игранная пирамида.

2)Число вписанных в пирамиду шаров не может быть больше одного.

3)Чтобы в пирамиду можно была вписать шар, не обьязательно чтобы пирамида была правильной. Достаточно(но не необходимо),чтобы в основание пирамиды можно была вписать окружность и проекция вершины была центром этой окрожности.

(10 Июн '12 22:32) ASailyan

Думаю, что пирамида все же 4-хгранная, хотя многоугольник - пятигранный (как в задаче-шутке: сколько граней у шестигранного карандаша? Восемь).

(10 Июн '12 23:49) DocentI

Пока некогда вникать, много дел в семье. 16 числа я еду преподавать в физ-мат лагерь (без ребенка), там будет время подумать над всяким задачами.
Пока мне не очень ясно, почему одна конструкция получается из другой "поворотом на 90о". Но общая идея мне близка, я начинала решать также.

(11 Июн '12 0:36) DocentI

2)Не спорю, хотя я рассматривал бездонную, бесконечную пирамиду 3)Вы правы, уважаемая @ASailyan: шар можно вписать не только в правильную пирамиду. Поэтому моё решение не является полным, а следовательно, правильным

(11 Июн '12 9:42) nikolaykruzh...

Продолжаю. Шар (окружность), кроме квадрата, можно вписать ещё в ромб (т. е. прямая пирамида в нормальном к её оси сечении имеет ромб) . Пусть ромб выбран таким, что ортогональное сечение к ребру с тупым углом даёт ромбовидную фигуру с прямым углом, требуемым условием задачи. Вписать в неё окружность нельзя. Таким образом, окончательный ответ: в пирамиду можно вписать шар только в том случае, если её нормальное сечение есть квадрат; в условии задачи это требование не соблюдается из-за различия сторон a и b, поэтому вписать шар невозможно

(12 Июн '12 8:47) nikolaykruzh...

Ещё одно продолжение.Согласно условию Вашей задачи шар может быть вписан в пирамиду в том случае, если стороны четырёхугольника с длинами $%a, b, c и d$%, лежащего в основании пирамиды, обладают свойством: $%a + c = b + d$%, причём $%a и c, b и d$% - противоположные стороны четырёхугольника. Однако проекция вершины пирамиды, по условию задачи, не может совпасть с центром окружности, поэтому ответ тот же, что и прежде.

(12 Июн '12 18:33) nikolaykruzh...
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,328
×285

задан
31 Май '12 18:05

показан
2311 раз

обновлен
13 Июн '14 1:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru