Четырехугольник $%ABCD$% вписан в окружность с диаметром $%BD$%. На меньшей с дуг $%AD$% выбрали произвольно точку $%M$%. С точки $%M$% провели перпендикуляры $%MN,MK,MP,MT$% на $%AB,BC,CD,DA$% соответственно. Доказать, что $%S_{\triangle MNP}=S_{\triangle MKT}$%.

задан 4 Апр '15 10:11

1

)))) еще одна красивая и легкая задача )))
( доказать надо подобие прямоугольников $%MPCK$% и $%MNAT$% )
Точнее ( исправляю ): $%MPCK$% подобен прямоугольнику $%MTAN$%

(4 Апр '15 14:17) ЛисаА

@ЛисаА: а Вы напишите!

(4 Апр '15 14:38) falcao

@falcao, да, сейчас )) рисовала долго - чтобы получился хоть немного разборчивый рисунок.. ( правда, получилось все равно "не очень".. ) И я даже в предыдущем комментарии неправильно назвала прямоугольники ( не в том порядке следования сторон.. сейчас исправлю.. )

(4 Апр '15 15:02) ЛисаА

@ЛисаА: я сейчас нарисовал это дело на черновике -- там действительно всё легко следует из известных фактов общего характера типа того,что произведения расстояний от М до противоположных сторон равны. Этот "сюжет" был в нескольких задачах форума. Но решение в любом случае имеет смысл поместить.

(4 Апр '15 15:11) falcao

@falcao, да, задача как раз о том и есть - доказать, что "произведения расстояний от точки $%M$% до противоположных сторон - равны".. ( "как доказывать" -- может, можно как-то по-разному.. я там вывела то, что у меня сейчас получилось =))

(4 Апр '15 15:26) ЛисаА

@ЛисаА: я имел в виду вот этот "сюжет", который был здесь. Там доказательство не приведено, но есть рисунок, из которого легко извлекается требуемый факт. Само по себе вспомогательное утверждение во многих задачах возникает, причём для произвольного вписанного 4-угольника.

(4 Апр '15 15:35) falcao

@falcao, да, задача о том же.. ( только я не помнила, что здесь уже была почти она же =) я не всегда успеваю уследить за задачами на форуме - а иногда не помню даже тех, которые точно здесь уже читала.. =))

(4 Апр '15 15:45) ЛисаА
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
3

Имеем: $%MPCK$% и $%MNAT$% -прямоугольники
( это очевидно: углы $%\angle PCK = 90^0$% и $%\angle NAT = \angle DAB = 90^0$% потому что опираются на диаметр $%BD$%, и еще по 2 угла в этих 4-угольниках будут прямыми потому, что по условию проводились перпендикуляры.. а тогда и "последние, четвертые" углы в этих 4-угольниках: $%\angle PMK = \angle NMT = 90^0$% )
Обозначим расстояния $%MP = a$%, $%MK = b$%, $%MN = x$% и $%MT = y$%.
Если угол $%\angle KMT = \phi$%, то угол $%\angle PMN = 180^0 - \phi$%. Тогда площади треугольников: $%S_{\Delta MKT} = 1/2\cdot b\cdot y\cdot sin (\phi)$%, и $%S_{\Delta MNP} = 1/2\cdot a\cdot x\cdot sin ( 180 - \phi ) $%.
То есть доказать надо, что $%b\cdot y = a\cdot x$%. Или что $%\frac{a}{b} = \frac{y}{x}$%.
А это верное равенство, т.к. $%\angle MCP = \angle MAD$% ( углы равны половине дуги $%MD$%, на которую они оба опираются ), и если эти равные углы обозначить $%\alpha$%, то $%\frac{a}{b} = \frac{y}{x} = tg(\alpha)$%

alt text

Может, при другом расположении точек на рисунке - пришлось бы называть какие-то другие углы (?) -- но если так "решилось", то и "перефразировать" для других случаев расположения точек, наверное, как-то можно =))

ссылка

отвечен 4 Апр '15 15:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×15

задан
4 Апр '15 10:11

показан
795 раз

обновлен
4 Апр '15 15:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru