$%\int \int_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy, $% где область $%D$%-ограниченна окружностью $%x^2+y^2=6y$%

Преобразуем уравнение окружности следующим образом:

$%x^2+y^2=6y$%

$%x^2+y^2-6y+9=9$%

$%x^2+(y-3)^2=9$%

Подставляя $%x=r\cos \theta, y=r\sin \theta $%, найдем уравнение окружности в полярных координатах:

$%x^2+y^2=6y$%

$%r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta=6r\sin \theta $%

$%r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)=6r\sin \theta $%

$%r=6\sin \theta $%

После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл:

$%\int \int_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy=\int \int_D (\sqrt{r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta})rdrd\theta=\int \int_D r^2drd\theta=$%

пределы интегрирования, есть сомнения

$%\int_{0}^{\pi}[\int_{0}^{6\sin \theta}r^2dr]d\theta$%

$%=\int_{0}^{\pi}[\frac{r^3}{3}\mid _{0}^{6\sin \theta}]d\theta$%

$%=72\int_{0}^{\pi}(sin^3\theta)d\theta$%

$%=72(\frac{1}{12}\cos(3\theta)-\frac{3\cos(\theta)}{4})\mid _{0}^{\pi}=96$%

задан 5 Апр '15 14:09

изменен 6 Апр '15 18:10

Здесь есть ошибка: пропал один множитель $%r$% после преобразования корня.

При работе с полярными координатами можно сразу пользоваться тем, что $%r=\sqrt{x^2+y^2}$%, не выводя этот простой факт каждый раз заново.

(5 Апр '15 15:01) falcao

@s1mka: вот способ, как узнать пределы интегрирования, а не подобрать их наугад. У Вас выписано уравнение окружности, ограничивающей область D. Найдите координаты её центра и радиус. После этого нарисуйте окружность и круг. Далее проводим мысленно лучи из начала координат, пересекающие D, и смотрим, в каких пределах заключены соответствующие им углы. Сказанное здесь надо осуществить медленно, последовательно и аккуратно. Тогда Вы увидите сам способ выяснения таких вещей. Его же можно применять и в других похожих ситуациях.

(6 Апр '15 11:29) falcao

@s1mka: у Вас написано уравнение окружности. Оно имеет вид $%x^2+(y-3)^2=9$% (в тексте имеется опечатка). Координаты центра (0;3), это верно. Каков радиус окружности? Это должно быть видно из уравнения. То, что радиус якобы равен 6, неправильно.

Определите радиус верно, сделайте рисунок, и только после этого находите границы для угла.

(6 Апр '15 14:56) falcao

@falcao я там ошиблась, радиус равен трем, я построила окружность она лежит выше $% х,$% точка касания с $%Ox$%$% (0;0)$% и тогда область интегрирования как я и писала первая и вторая четверть от $%0$% до $%\pi$%если не так то я тогда не понимаю почему

(6 Апр '15 15:13) s1mka
1

@s1mka: мне было важно, чтобы Вы увидели, какие здесь границы для угла. Теперь это уже не предположение, а доказанный факт. Так что теперь всё в порядке. Вычисления, насколько я могу судить, тоже верные.

(6 Апр '15 16:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,019
×1,658
×1,095
×76
×21

задан
5 Апр '15 14:09

показан
1225 раз

обновлен
6 Апр '15 18:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru