С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями $%z=0, z=\sqrt{1-y^2}, y=x, y=2x, x=0, x=\frac{1}{2}$%

$%0\leq z \leq \sqrt{1-y^2}$%

$%x\leq y \leq 2x$%

$%0\leq x \leq \frac{1}{2}$%

$%V=\int\int\int_Ddxdydz=\int_0^{\frac{1}{2}}dx \int_x^{2x}dy \int _0^{\sqrt{1-y^2}}dz$%

1.$%\int _0^{\sqrt{1-y^2}}dz=\sqrt{1-y^2}$%

2.$%\int_x^{2x}(\sqrt{1-y^2})dy=(\frac{1}{2}[y\sqrt{1-y^2}+\arcsin (y)])\mid _x^{2x}=\frac{1}{2}(2x\sqrt{1-2x}+\arcsin(2x)-x\sqrt{1-x}+\arcsin(x))$%

3.$%\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}[2x\sqrt{1-2x}+\arcsin(2x)-x\sqrt{1-x}+\arcsin(x)]dx\approx 0.19$%

или

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями $%z=0, z=\sqrt{1-x^2}, y=x, y=2x, x=0, x=\frac{1}{2}$%

$%0\leq z \leq \sqrt{1-x^2}$%

$%x\leq y \leq 2x$%

$%0\leq x \leq \frac{1}{2}$%

$%V=\int\int\int_Ddxdydz=\int_0^{\frac{1}{2}}dx \int_x^{2x}dy \int _0^{\sqrt{1-x^2}}dz$%

1.$%\int _0^{\sqrt{1-x^2}}dz=\sqrt{1-x^2}$%

2.$%\int_x^{2x}(\sqrt{1-x^2})dy=(y\sqrt{1-x^2})\mid_x^{2x}=2x\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-x^2}=x\sqrt{1-x^2}$%

3.$%\int_0^{1/2}x\sqrt{1-x^2}dx=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\mid_0^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}\approx 0.12$%

задан 6 Апр '15 18:20

изменен 8 Апр '15 12:06

Эта задача технически несколько более сложная по сравнению с предыдущими. Было бы полезно проверить точность записи условия на всякий случай. Тем не менее, решить её можно, хотя там кое-что надо будет повычислять. Интеграл там немного другой вот по какой причине: не для всех x, y указанного вида выражение под знаком корня будет неотрицательно. Поэтому надо учесть ещё одно неявное ограничение, которое получается приравниванием выражений для z. Там будет окружность $%x^2+y^2=1$%. Нас интересует часть круга, вырезаемая прямыми y=x, y=2x, x=1/2. Это треугольник со "спиленным" углом.

(6 Апр '15 20:18) falcao

То, что описано выше, надо нарисовать. Это двумерная область интегрирования, и по ней рассматривается интеграл от $%\sqrt{1-x^2-y^2}$%. Вычислять его удобнее в полярных координатах, выражая эту функцию как $%\sqrt{1-r^2}$%, а область интегрирования надо разделить на две части: треугольник и сектор.

(6 Апр '15 20:21) falcao

@s1mka: я посмотрел, какие тут при вычислении возникают интегралы -- должен сказать, что они "ужасают". Таких заданий обычно не предлагают. Тут или опечатка в условии, или задание дано по недосмотру. Оно вообще странно выглядит: слишком много ограничений, что нетипично. Думаю, решать это дело до конца нет смысла.

(7 Апр '15 2:50) falcao

@s1mka: условие составлял не я, поэтому трудно что-либо предложить. Иногда бывает так, что задача похожа на какую-то стандартную, но условие отличается в одном месте. Тогда можно внести предполагаемое исправление. А здесь могло быть что угодно.

Я заметил, Вы сами уже заменили функцию на $%z=\sqrt{1-y^2}$%?

(7 Апр '15 19:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Посмотрите таблицы интегралов в книгах или в Сети. Там есть такая формула для неопределённого интеграла: $%\int\sqrt{1-y^2}dy=\frac12y\sqrt{1-y^2}+\frac12\arcsin y$% (плюс константа в конце, которую я опускаю).

ссылка

отвечен 7 Апр '15 20:29

@falcao я решила, но что-то меня терзают сомнения, посмотрите, пожалуйста.

(8 Апр '15 11:20) s1mka

@falcao мне кажется, лучше вторым способом решить, предположив, что $%z=\sqrt{1-x^2}$% там не такие пугающие интегралы, и, думаю, там меньше шанс ошибки.

(8 Апр '15 12:07) s1mka

@s1mka: я не вижу ничего плохого в том, что Вы варьируете условие и решаете задачу похожего типа -- это полезно в плане тренировки. Возникают две задачи с разными ответами. Но я в принципе не могу сказать, что "лучше", потому что если условие задачи было не тем, каким должно было быть, то вместо него могло быть что угодно. Обе задачи здесь так или иначе имеют смысл.

(8 Апр '15 12:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,421
×1,500
×1,021

задан
6 Апр '15 18:20

показан
438 раз

обновлен
8 Апр '15 12:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru