1. К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры $%5$%, можно приписать справа ещё $%6$% цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального числа?
  2. Тот же вопрос про число, начинающееся на $%1$%.
  3. Найдите для каждого натурального $%n$% такое наименьшее число $%k$%, что к любому $%n$%- значному числу можно так приписать справа $%k$% цифр, чтобы полученное $%(n+k)$%-значное число было квадратом натурального числа.

задан 6 Апр '15 23:19

изменен 8 Апр '15 20:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1
  1. Из равенств $%707108^2=500001723664$% и $%707109^2=500003137881$% следует, что к 6-значному числу 500002 требуемым образом приписать справа 6 цифр нельзя.

  2. Здесь ответ положительный. Пусть $%10^5\le n < 2\cdot10^5$% -- шестизначное число, начинающееся цифрой 1. Предположим, что нельзя получить точный квадрат приписыванием к нему справа шести цифр. Тогда какой-то точный квадрат был меньше, чем $%n\cdot10^6$%, а следующий был уже не меньше $%(n+1)\cdot10^6$%, то есть $%N^2 < n\cdot10^6$% и $%(N+1)^2\ge(n+1)\cdot10^6$%. Из этого следует, что $%2N+1=(N+1)^2-N^2 > 10^6$%, то есть $%N\ge10^6/2$%. В частности, $%n > N^2/10^6=\frac14\cdot10^6 > 2\cdot10^5$% -- противоречие.

  3. Если $%n$%-значное число состоит из одних девяток, то к нему нельзя приписать справа $%n$% цифр, чтобы получился точный квадрат. Действительно, $%(10^n)^2$% больше такого $%2n$%-значного числа, которое получается в итоге приписывания, а $%(10^n-1)^2=10^{2n}-2\cdot10^n+1$% имеет вид $%99\ldots800\ldots01$%, и его первые $%n$% цифр образуют число $%99\ldots8$%.

Покажем, что приписать $%n+1$% цифру справа уже можно. В противном случае, как и выше, найдётся такое $%N$%, что $%N^2 < K\cdot10^{n+1}$% и $%(N+1)^2\ge(K+1)\cdot10^{n+1}$%, где $%K$% есть некоторое $%n$%-значное число. Отсюда $%N\ge10^{n+1}/2$% и $%K > N^2/10^{n+1}\ge\frac14\cdot10^{n+1} > 10^n$% оказывается более чем $%n$%-значным. Следовательно, $%k=n+1$%.

ссылка

отвечен 7 Апр '15 1:18

изменен 8 Апр '15 20:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,079

задан
6 Апр '15 23:19

показан
581 раз

обновлен
7 Апр '15 1:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru