математический-анализ - Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл $%\int_L \frac{1}{x} dy-\frac{1}{y}dx$%

а)по дуге линии $%x=e^t, y=e^{2t}, (0 \leq t \leq ln(2))$%

б) по дуге параболы $%y=\sqrt{x}$% от точки $%A(1;1)$% до точки $%B(4;2)$%

Решение:
а)$%\int_L Pdx+Qdy=\int_a^b (Px_{t}'+Qy_{t}' ) dt$%

$%x'_t=e^t, y'_t=2e^{2t}$%

$%\int_0^{ln(2)} \frac{1}{x} dy-\frac{1}{y}dx=\int_0^{ln(2)} (\frac{2e^{2t}}{e^t} -\frac{e^t}{e^{2t}} ) dt=\int_0^{ln(2)} (2e^t-e^{-t} ) dt=$%

$%(2e^t+e^{-t})\mid _0^{ln(2)}=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$%

Значит: $%\int_L \frac{1}{x} dy-\frac{1}{y}dx=\frac{3}{2}$%

б) Для вычисления данного криволинейного интеграла воспользуемся формулой:

$%\int_L Pdx+Qdy=\int_a^b (P(x,f(x))+Q(x,f(x))\frac{df}{dx} ) dx$%

Подставляя $%y=\sqrt{x}$% и $%dy=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$% в подынтегральное выражение, получаем

$%\int_L \frac{1}{x} dy-\frac{1}{y}dx=\int_1^4\frac{1}{x}*\frac{1}{2\sqrt{x}}dx -\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int_1^4\frac{1-2x}{2x\sqrt{x}}dx=-\frac{2x+1}{\sqrt{x}}\mid_1^4=-\frac{3}{2}=-1.5$%