Вычислить криволинейный интеграл $%\oint_L \frac{y}{x}dx+2ln(x)dy $% по замкнутому контуру $%L$%, где $%L$%-контур фигуры ограниченной линиями $%x=1, y=0,y=4-x$% непосредственно и с помощью Грина.

Решение

Применим формулу Грина

$%\oint_L Pdx-Qdy= \int \int_R( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy $%

Очевидно здесь $%P=\frac{y}{x}, Q=2ln(x)$%, так что

$%\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (2ln(x)}{\partial x}= \frac{2}{x}$%

$%\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (\frac{y}{x})}{\partial y}= \frac{1}{x}$%

Следовательно

$%\oint_L \frac{y}{x}dx+2ln(x)dy = \int\int_R (\frac{2}{x}-\frac{1}{x})dxdy=\int\int_R(\frac{1}{x})dxdy=\int_1^4\frac{1}{x}[\int _0^{4-x}dy]dx=\int_1^4\frac{1}{x}[4-x]dx=$%

$%\int_1^4(\frac{4}{x}-1)dx=(4ln(x)-x)\mid_1^4 \approx 2.55$%

Значит $%\oint_L \frac{y}{x}dx+2ln(x)dy \approx 2.55$%

Вычислим криволинейный интеграл непосредственно : $%A(1;0), B(1;3), C(4;0)$%

$%\int_{AB} \frac{y}{x}dx+2ln(x)dy=$% (уравнение прямой $%АВ$% есть $%x=1, dx=0$% в качестве параметра выбираем $%y$%)

$%=\int_0^3 (\frac{y}{1}\times 0+2ln(1))dy=0$%

$%\int_{BC} \frac{y}{x}dx+2ln(x)dy=$% (уравнение прямой $%BC$% есть $%y=-x+4, dy=-1,$% в качестве параметра выбираем $%x$%)

$%=\int_1^4(-1+\frac{4}{x}-2ln(x))dx=(x-2xln(x)+4ln(x))\mid_1^4 \approx 2.55$%

$%\int_{AC} \frac{y}{x}dx+2ln(x)dy=$% (уравнение прямой $%AC$% есть $%y=0, dy=0,$% в качестве параметра выбираем $%x$%)

$%=\int_1^4(\frac{0}{x}+2ln(x)\times 0)dx=0$%

задан 7 Апр '15 13:57

изменен 9 Апр '15 12:18

Здесь в условии требуется ещё вычислить интеграл непосредственно, то есть по трём участкам контура в отдельности. Ответ должен совпасть с тем, который даёт формула Грина.

(8 Апр '15 17:49) falcao

Я уже объяснил. Уравнение составлено неправильно. Там точки (1,0) и (1,3). Это вертикальная прямая. Её уравнение имеет вид x=1. Понятно, что y=x+1 совсем не подходит: этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной из точек!

(9 Апр '15 11:17) falcao

Интеграл по BC вычислен неверно. Откуда там квадрат логарифма? Его быть не должно.

(9 Апр '15 11:42) falcao
1

Судя по всему верно, раз ответы совпали. Лучше, кстати, сначала ответ записывать в точной форме, через элементарные функции, а потом уже давать десятичное приближение.

(9 Апр '15 12:07) falcao

@falcao спасибо что помогли разобраться

(9 Апр '15 12:09) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,053
×2,054
×1,423

задан
7 Апр '15 13:57

показан
947 раз

обновлен
9 Апр '15 12:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru