Вычислить криволинейный интеграл $%\int _{(0;0)}^{(2;2)}(2xy-5y^3)dx + (x^2-15xy^2+6y)dy$% предварительно убедившись, что он не зависит от контура интегрирования.

Решение

$%P=2xy-5y^3, Q=x^2-15xy^2+6y$%

$%\frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial (2xy-5y^3)}{\partial x}= 2x-15y^2$%

$%\frac{\partial Q}{\partial x}= \frac{\partial (x^2-15xy^2+6y)}{\partial x}= 2x-15y^2$%

То есть частные производные непрерывны и равны на всей плоскости, поэтому взяв за путь интегрирования ломанную, изображенную на рисунке получим:

$%\int _{(0;0)}^{(2;2)}(2xy-5y^3)dx + (x^2-15xy^2+6y)dy=$%

$%\int_0^2 (2x\cdot0-5\cdot0) dx+\int_0^2(4-30y^2+6y)dy=(-10y^3+3y^2+4y)\mid _0^2dy=-60$%

Замена $%y=x$%

$%\int_0^2(2x\cdot x-5\cdot x^3)dx+(x^2-15x\cdot x^2+ 6*x)dx=$%

$%\int_0^2 (2x^2-5x^3+x^2-15x^3+6x)dx=$%

$%\int_0^2 (-20x^3+3x^2+6x)dx=(-5x^4+x^3+3x^2)=-60$%

задан 7 Апр '15 14:14

изменен 8 Апр '15 17:50

@s1mka: здесь в самом конце, как я понимаю, идёт интегрирование по ломаной из двух звеньев (есть ссылка на рисунок, но самого рисунка нет). Так делать можно, но это не самый простой способ. Лучше интегрировать по отрезку, соединяющему точки. А это отрезок прямой y=x, где 0<=x<=2. Поэтому полезно ещё и таким способом посчитать. Если численный ответ совпадёт, то всё верно. И вместо двух интегралов будет один, то есть это проще. В общем, сделайте замену y=2x исходном интеграле, и тогда сами себя легко проверите.

(8 Апр '15 11:20) falcao

@s1mka: Вы забыли учесть, что dy+d(2x)=2dx. И ещё надо аккуратнее записывать: числа 62 тут нет.

(8 Апр '15 15:50) falcao

@falcao там не 62 а 6*2 просто знак * не прописался, подскажите в что в этот раз не так?

(8 Апр '15 17:17) s1mka

@s1mka: сейчас заметил, что это я допустил описку в одном из комментариев и сбил этим Вас с толку. Отрезок, соединяющий точки (0,0) и (2,2), является частью прямой y=x. Именно такой замена и должна быть. А я в самом конце взял и написал зачем-то про y=2x. Конечно, это неправильно. Надо сделать то, что было написано перед этим. То есть y=x, dy=dx, интеграл по x от 0 до 2. Тут числа будут попроще, и всё должно совпасть.

"Звёздочки" желательно не писать: если их более одной, редактор их трактует как выделение текста жирным шрифтом. Надо писать \cdot (точка), или \times ("крестик"), или ничего.

(8 Апр '15 17:42) falcao

@s1mka: мне кажется, оба варианта годятся.

(8 Апр '15 22:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,417
×1,498
×1,021

задан
7 Апр '15 14:14

показан
419 раз

обновлен
8 Апр '15 22:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru