Пусть $%P$% - множество людей, $%Hs$% - множество организмов вида Homo sapiens.

Вопрос 1: Можно ли ввести отношение частичного линейного порядка на множестве людей, если $%\begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.)) \end {cases}$%?

Вопрос 2: Верно ли, что

$%\begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.)) \\ \forall x ( x \in P \rightarrow (x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases} $%

$% \ \ \ \rightarrow \begin {cases} \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) = 0) \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) > 0) \end {cases}%$%?

Примечание

$%1. \ $% По поводу употребления предикатов "x is mortal." (рус. - "x смертен.") и "x is sinful." (рус. - "x грешен.") см. вопрос "Бессмертие и греховность".

$%2. \ $% Высказывание «На множестве людей можно ввести отношение частичного линейного порядка.» допустимо интерпретировать как высказывание $%\exists R (R \subseteq P^2 \wedge \begin {cases} R \neq \varnothing \\ \forall x (x \in P \rightarrow \langle x, x \rangle \in R) \\ \forall x \forall y (\{x, y\} \subseteq P \rightarrow (\langle x, y \rangle \in R \wedge \langle y, x \rangle \in R \rightarrow x = y)) \\ \forall x \forall y (\{x, y\} \subseteq P \rightarrow \langle x, y \rangle \in R \vee \langle y, x \rangle \in R ) \\ \forall x \forall y \forall z (\{x, y, z\} \subseteq P \rightarrow (\langle x, y \rangle \in R \wedge \langle y, z \rangle \in R \rightarrow \langle x, z \rangle \in R)) \end{cases} $%.

$%3. \ $% Не возбраняется использовать отображение $%Sinfulness: P \mapsto [0, \infty)$% такое, что $%\forall x (x \in P \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \wedge (x \in Hs \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0))$%.

$%4. \ $% Не возбраняется использовать высказывание «$%\forall x \forall y (\{x, y\} \subseteq P \rightarrow (x \leq_{sfn} y \leftrightarrow Sinfulness(x) \leq Sinfulness(y)))$%».

задан 2 Июн '12 10:24

изменен 15 Июн '12 14:15

Странное определение "частичный линейный порядок". Обычно для порядка "линейный" равносильно "полный". Тем более, что полнота отношения явно провозглашается Вами в предпоследней строке определения порядка, прямо перед транзитивностью и после антисимметрии.

(2 Июн '12 17:24) DocentI

Кстати, обычно полнота отношения формулируется для пар неравных элементов. В той форме, в которой она записана у Вас, она включает в себя рефлексивность (строку 2 определения), так что это требование становится излишним.

(2 Июн '12 19:10) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Каким образом существование/несуществование порядка на некотором множестве связано с предикатами, заданными для элементов этого множества? Вы же не указываете, как искомый порядок соотносится с Вашими предикатами.

А уж какой-никакой линейный порядок можно ввести на любом множестве (если Вы признаете аксиому выбора). И тем более это верно для конечного множества P. Или оно бесконечно?

ссылка

отвечен 2 Июн '12 19:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

У меня не вызывает сомнений, что

$$ \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall_{x \ \in \ P} (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0) \\ \forall_{x \ \in \ P}(Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} \forall_{x \ \in \ P \ \setminus \ Hs} (Sinfulness(x) = 0) \\ \forall_{x \ \in \ P \ \cap \ Hs} (Sinfulness(x) > 0) \end {cases} $$

Доказательство

$%\begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall_{x \ \in \ P} (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0) \\ \forall_{x \ \in \ P}(Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$%

$%\Leftrightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0)) \\ \forall x (x \in (P \cap Hs) \cup (P \setminus Hs) \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \rightarrow Sinfulness(x) \neq 0) \wedge (x \notin Hs \rightarrow Sinfulness(x) = 0)) \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \wedge \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$%

$%\Leftrightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \notin \{0\}) \wedge \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in \{0\})) \wedge \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$%

$%\Leftrightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \setminus \{0\}) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \cap \{0\})) \end {cases}$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in (0, \infty) \ ) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in \{0\}) \end {cases}$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) > 0) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) = 0) \end {cases}$%

$%\Leftrightarrow \begin {cases} \forall_{x \in P \cap Hs} (Sinfulness(x) > 0) \\ \forall_{x \in P \setminus Hs} (Sinfulness(x) = 0) \end {cases}$%

ссылка

отвечен 15 Июн '12 17:10

изменен 16 Июн '12 2:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×267
×40

задан
2 Июн '12 10:24

показан
1221 раз

обновлен
16 Июн '12 2:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru