|
Пусть $%P$% - множество людей, $%Hs$% - множество организмов вида Homo sapiens. Вопрос 1: Можно ли ввести отношение частичного линейного порядка на множестве людей, если $%\begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.)) \end {cases}$%? Вопрос 2: Верно ли, что $%\begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.)) \\ \forall x ( x \in P \rightarrow (x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases} $% $% \ \ \ \rightarrow \begin {cases} \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) = 0) \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) > 0) \end {cases}%$%? Примечание $%1. \ $% По поводу употребления предикатов "x is mortal." (рус. - "x смертен.") и "x is sinful." (рус. - "x грешен.") см. вопрос "Бессмертие и греховность". $%2. \ $% Высказывание «На множестве людей можно ввести отношение частичного линейного порядка.» допустимо интерпретировать как высказывание $%\exists R (R \subseteq P^2 \wedge \begin {cases} R \neq \varnothing \\ \forall x (x \in P \rightarrow \langle x, x \rangle \in R) \\ \forall x \forall y (\{x, y\} \subseteq P \rightarrow (\langle x, y \rangle \in R \wedge \langle y, x \rangle \in R \rightarrow x = y)) \\ \forall x \forall y (\{x, y\} \subseteq P \rightarrow \langle x, y \rangle \in R \vee \langle y, x \rangle \in R ) \\ \forall x \forall y \forall z (\{x, y, z\} \subseteq P \rightarrow (\langle x, y \rangle \in R \wedge \langle y, z \rangle \in R \rightarrow \langle x, z \rangle \in R)) \end{cases} $%. $%3. \ $% Не возбраняется использовать отображение $%Sinfulness: P \mapsto [0, \infty)$% такое, что $%\forall x (x \in P \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \wedge (x \in Hs \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0))$%. $%4. \ $% Не возбраняется использовать высказывание «$%\forall x \forall y (\{x, y\} \subseteq P \rightarrow (x \leq_{sfn} y \leftrightarrow Sinfulness(x) \leq Sinfulness(y)))$%». задан 2 Июн '12 10:24 
Галактион |
|
Каким образом существование/несуществование порядка на некотором множестве связано с предикатами, заданными для элементов этого множества? Вы же не указываете, как искомый порядок соотносится с Вашими предикатами. А уж какой-никакой линейный порядок можно ввести на любом множестве (если Вы признаете аксиому выбора). И тем более это верно для конечного множества P. Или оно бесконечно? отвечен 2 Июн '12 19:13 
DocentI |
|
У меня не вызывает сомнений, что $$ \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall_{x \ \in \ P} (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0) \\ \forall_{x \ \in \ P}(Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} \forall_{x \ \in \ P \ \setminus \ Hs} (Sinfulness(x) = 0) \\ \forall_{x \ \in \ P \ \cap \ Hs} (Sinfulness(x) > 0) \end {cases} $$ Доказательство $%\begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall_{x \ \in \ P} (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.) \\ \forall_{x \ \in \ P}(x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0) \\ \forall_{x \ \in \ P}(Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$% $%\Leftrightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ mortal. \leftrightarrow x \ is \ sinful.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ sinful. \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$% $%\Rightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow Sinfulness(x) \neq 0)) \\ \forall x (x \in (P \cap Hs) \cup (P \setminus Hs) \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$% $%\Rightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \rightarrow Sinfulness(x) \neq 0) \wedge (x \notin Hs \rightarrow Sinfulness(x) = 0)) \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \wedge \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$% $%\Leftrightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \notin \{0\}) \wedge \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in \{0\})) \wedge \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \ ) \end {cases}$% $%\Leftrightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \setminus \{0\}) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in [0, \infty) \cap \{0\})) \end {cases}$% $%\Rightarrow \begin {cases} \varnothing \notin \{P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in (0, \infty) \ ) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) \in \{0\}) \end {cases}$% $%\Rightarrow \begin {cases} \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow Sinfulness(x) > 0) \\ \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow Sinfulness(x) = 0) \end {cases}$% $%\Leftrightarrow \begin {cases} \forall_{x \in P \cap Hs} (Sinfulness(x) > 0) \\ \forall_{x \in P \setminus Hs} (Sinfulness(x) = 0) \end {cases}$% отвечен 15 Июн '12 17:10
Галактион |
Странное определение "частичный линейный порядок". Обычно для порядка "линейный" равносильно "полный". Тем более, что полнота отношения явно провозглашается Вами в предпоследней строке определения порядка, прямо перед транзитивностью и после антисимметрии.
Кстати, обычно полнота отношения формулируется для пар неравных элементов. В той форме, в которой она записана у Вас, она включает в себя рефлексивность (строку 2 определения), так что это требование становится излишним.