Здравствуйте, есть такое задание: Отображение $%f$% переводит каждую точку полупрямой $$(1; + \infty) $$ в $$x + \frac{1}{x}$$ Есть ли оно сжимающим? Имеет ли оно неподвижную точку? Пожалуйста, разпишите все подробно, так как в Интернете похожего нету, а на практике ничего не понятно было.

задан 7 Апр '15 23:29

изменен 8 Апр '15 9:55

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%f(x)=x+\frac1x$% при $%x > 1$%.

По условию, неподвижной называется такая точка, для которой $%f(x)=x$%. Это приводит к уравнению $%\frac1x=0$%, которое, очевидно, не имеет решений. Следовательно, неподвижных точек нет.

Теперь рассмотрим точки $%x,y$% и рассмотрим разность $%f(x)-f(y)=x-y+\frac1x-\frac1y=x-y-\frac{x-y}{xy}$%. Заметим, что при $%x,y > 1$% выполняется равенство $%1-\frac1{xy} > 0$%. Поэтому при $%x\ne y$% получается, что $%\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=1-\frac1{xy}$%. При $%xy\to+\infty$% эта величина может принимать значения, сколь угодно близкие к 1. Поэтому не существует такого $%k\in(0;1)$%, для которого $%|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$%, и отображение не будет сжимающим в смысле этого определения.

Можно заметить также, что из теоремы о неподвижной точке следует то же самое, но здесь полезно было проверить это всё непосредственно.

ссылка

отвечен 8 Апр '15 0:00

спасибо вам

(8 Апр '15 0:43) mishamusha
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×398
×69

задан
7 Апр '15 23:29

показан
392 раза

обновлен
8 Апр '15 0:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru