Уравнение $%x^n+a_1\cdot x^{n-1}+...+a_n=0$% имеет $%n$% различных вещественных корней, и его коэффициент $%a_k$% равен $%0$%. Докажите, что выполняется неравенство $%a_{k-1}\cdot a_{k+1}<0.$%

задан 8 Апр '15 13:50

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для разнообразия предложу ещё один способ решения. В нём используется в первую очередь анализ. Ясно, что при дифференцировании получаются многочлены с тем же основным свойством (число различных корней равно степени), а коэффициенты не меняют знак, умножаясь только на положительные числа. В итоге получится многочлен вида $%g(x)=\cdots+ax^2+b$%. Надо доказать, что $%ab < 0$%.

Пусть $%x_1 < x_2$% -- два соседних корня многочлена $%g$%. Между ними имеется корень производной: $%g'(x_0)=0$%, где $%x_0\in(x_1,x_2)$%. При $%g(x_0)=0$% получается кратный корень. Пусть $%g(x_0) > 0$%. Производная не может обращаться в ноль в каких-то ещё точках кроме как один раз между каждой парой соседних корней. Тогда $%g(x)$% возрастает на $%(x_1,x_0)$% и убывает на $%(x_0,x_2)$%. Производная при переходе через точку $%x_0$% меняет знак с "плюса" на "минус", то есть уменьшается. Следовательно, $%g'(x)$% убывает на интервале, и $%g''(x_0) < 0$%. Это также легко увидеть из графика.

При $%g(x_0) < 0$% аналогично получаем $%g''(x_0) > 0$%. Таким образом, $%g(x_0)g''(x_0) < 0$% при $%g'(x_0)=0$%. Осталось положить $%x_0=0$% для нашего многочлена, заметив, что $%b=g(0)$%, $%g'(0)=0$%, $%g''(0)=2a$%.

ссылка

отвечен 8 Апр '15 23:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×322

задан
8 Апр '15 13:50

показан
325 раз

обновлен
8 Апр '15 23:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru