Пусть $%x_1,x_2,...,x_n$% - положительные действительные числа, $%n \ge 2$%. Доказать, что $$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}) \ge 2n^2$$

задан 8 Апр '15 13:54

10|600 символов нужно символов осталось
2

Воспользуемся несколько раз неравенством Коши: $$\prod_{k=1}^n(1+x_k)\ge\left(1+\sqrt[n]{\prod_{k=1}^nx_k}\right)^n,$$ $$\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}\ge\frac n{\sqrt[n]{\prod_{k=1}^nx_k}},$$ $$t=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^nx_k},$$ $$f(t)=n\frac{(1+t)^n}t,$$ $$f'(t)=0\Rightarrow t=\frac1{n-1},$$ $$f\left(\frac1{n-1}\right)=n\frac{\left(1+\frac1{n-1}\right)^n}{\frac1{n-1}}>2n^2\text{ (неравенство Бернулли)}.$$

ссылка

отвечен 9 Апр '15 1:23

изменен 9 Апр '15 1:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×252

задан
8 Апр '15 13:54

показан
466 раз

обновлен
9 Апр '15 1:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru