Пусть $%p \ge 3 - $% данное простое число. Найти все функции $%f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$% такие, что если для $%m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{Z}$% число $%m-n$% делится без остатка на $%p$%, то $%f(m)=f(n)$%, и $%f(mn)=f(m)f(n)$% для всех $%m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{Z}$%.

задан 8 Апр '15 15:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Ясно, что $%f(1)=f(1)^2$%, откуда $%f(1)=0$% или $%f(1)=1$%. В первом случае получается тождественно нулевая функция: $%f(m)=0$% для всех $%m$%, поэтому далее считаем, что имеет место второе из равенств. Сразу отметим второй тривиальный случай тождественно единичной функции: $%f(m)=1$% для всех $%m$%, исключая его из дальнейшего рассмотрения. Такая функция получается в случае $%f(0)=1$%. Поэтому из условия $%f(0)=f(0)^2$% будет следовать, что $%f(0)=0$%.

Достаточно задать функцию на множестве $%\{1,2,\ldots,p-1\}$% ненулевых остатков от деления на $%p$%: она однозначно продолжается на $%\mathbb Z$%. Если $%a$% -- один из таких остатков, то $%a^{p-1}-1$% делится на $%p$% в силу малой теоремы Ферма. Следовательно, $%f(a)^{p-1}=f(a^{p-1})=f(1)=1$%. Это значит, что $%f(a)=\pm1$% для всех таких $%a$%.

Известно, что все ненулевые остатки от деления на простое нечётное $%p$% подразделяются на две категории: квадратичные и неквадратичные. Первые -- это те, для которых существует целое $%x$% такое, что $%x^2-a$% делится на $%p$%. Все такие остатки находятся следующим образом: рассматриваем числа $%1^2$%, $%2^2$%, ... , $%(\frac{p-1}2)^2$%, и заменяем их остатками от деления на $%p$%. Например, при $%p=7$% это даёт три числа 1, 4, 2. Остальные три числа 3, 5, 6 -- это неквадратичные остатки, то есть квадрат целого числа не может давать таких остатков при делении на 7.

Легко заметить, что если $%1\le x < y\le\frac{p-1}2$%, то $%y^2-x^2=(y-x)(y+x)$% не делится на $%p$% ввиду неравенств $%0 < y-x < y+x\le p-1 < p$%. Поэтому все $%\frac{p-1}2$% получающихся остатков -- разные, а другие числа можно в квадрат не возводить, так как $%x^2$% и $%(p-x)^2$% дают одинаковые остатки от деления на $%p$%.

Итак, у нас для каждого $%p$% из условия имеется половина квадратичных и половина неквадратичных остатков среди ненулевых. Если $%a$% квадратичный, то $%f(a)=f(x^2)=f(x)^2=1$%, так как $%f(x)=\pm1$%. Нетрудно заметить, что перемножение квадратичных остатков даёт квадратичный остаток (ввиду очевидного тождества $%(xy)^2=x^2y^2$%). Также легко проверить, что произведение квадратичного остатка и неквадратичного приводит к остатку неквадратичному. Подробности я опускаю, так как это всё достаточно стандартно. Можно также напомнить, что произведение двух неквадратичных остатков даёт квадратичный остаток.

Поскольку $%f$% не тождественно единичная, существует неквадратичный остаток $%a$% для которого $%f(a)=-1$%. Тогда на остальных неквадратичных остатках функция также равна $%-1$%. Тем самым, получается функция, равная нулю в нуле, равная $%1$% на квадратичных остатках, и равная $%-1$% на неквадратичных. Это третий (основной) пример такой функции помимо тождественного нуля и тождественной единицы.

ссылка

отвечен 8 Апр '15 16:46

Спасибо большое! Решил задачу отдельно для $%p=3$% и $%p=5$%. Но в общем случае ответ получить не мог.

(8 Апр '15 16:55) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×72

задан
8 Апр '15 15:45

показан
246 раз

обновлен
8 Апр '15 16:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru