alt text

Доказать, что множество, задаваемое системой, является выпуклым.

задан 9 Апр '15 0:22

Это следует из того, что пересечение выпуклых множеств выпукло. В первом условии -- внутренняя часть эллипса. Во втором -- угол (открытый). В третьем -- неравенство имеет вид $%xy\ge2$%. Это две внутренние части гиперболы, они тоже выпуклые.

(9 Апр '15 0:32) falcao

@falcao а как это можно строго доказать?

(9 Апр '15 2:06) Intense

@Intense: какой именно из фактов Вас интересует? Дело в том, что здесь всё достаточно стандартно, и на что-то, наверное, можно сослаться. Скажем, выпуклость полуплоскости или круга, а также внутренности эллипса -- это факты общеизвестные. Для случая гиперболы, наверное, аналитическое доказательство можно было бы привести.

(9 Апр '15 2:14) falcao

@falcao хотелось бы узнать, как аналитически/строго доказывается, что целиком это множество выпуклое

(9 Апр '15 2:23) Intense

@Intense: целиком это не надо доказывать! Дело в том, что множеством решений системы является пересечение трёх множеств, а пересечение выпуклых множеств выпукло, что сразу следует из определения. Поэтому выпуклость достаточно установить для каждой из фигур в отдельности, что намного проще.

(9 Апр '15 2:26) falcao

@falcao я нашел, что если взять две точки $%x_1$% и $%x_2$% из этого множества, то отрезок будет $%x = \alpha x_1+(1-\alpha)x_2; \alpha = [0;1]$%, но я не понимаю как проверить, что если подставить это в условие, неравенства будут верными, т.е выполняться

(9 Апр '15 2:29) Intense

@Intense: я понимаю, что Вы хотите доказать, и это можно обсудить, но только на примере гиперболы. Для круга это геометрически очевидно, а эллипс получается сжатием, для которого отрезки переходят в отрезки, и свойство выпуклости сохраняется.

(9 Апр '15 2:41) falcao

@falcao хорошо, может быть, вы тогда подскажете, как подставлять то, что я писал выше в нер-во $%Re(z)*Im(z) \geq 2$%, чтобы доказать, что оно выполняется?

(9 Апр '15 9:38) Intense
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Из первого условия следует, что все рассматриваемые $%z$% принадлежат правой полуплоскости, то есть $%x > 0$%. Докажем, что множество $%M=\{(x,y)\mid xy\ge2, x > 0\}$% выпукло.

Рассмотрим две точки $%(x_i,y_i)$% из $%M$%. Составим их выпуклую линейную комбинацию. Тогда $%xy=(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)(\alpha y_1+(1-\alpha)y_2)\ge(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)(2\alpha/x_1+2(1-\alpha)x_2)$%, что равно $%2\alpha^2+2(1-\alpha)^2+2\alpha(1-\alpha)(x_1/x_2+x_2/x_1)\ge2(\alpha^2+(1-\alpha)^2+2\alpha(1-\alpha))=2$% с учётом неравенства о среднем.

ссылка

отвечен 9 Апр '15 10:01

@falcao спасибо!

(9 Апр '15 12:14) Intense
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,510
×515

задан
9 Апр '15 0:22

показан
1425 раз

обновлен
9 Апр '15 12:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru