уравнения - Тригонометрическое уравнение с параметром

Уравнение запишем в виде $% cosasinx+(sina-1)cosx=2cosa$%.

1)Если $% a=\frac{\pi}{2}+2\pi n , n\in Z$%, то $%x\in R$%

2)Если $% а\ne-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$%, то $%cos^2a+(sina-1)^2\ne0$%, и можем применять метод вспомогательного угла. Уравнение примет вид $% \frac{cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}sinx+\frac{sina-1}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}cosx=\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}$%. И как известно смотрите здесь

• если $%(2cosa)^2>cos^2a+(sina-1)^2\Leftrightarrow -\frac{1}{2}< sina <1 $%

$%\Leftrightarrow a\in(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup (\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n),n\in Z $%то уравннение не имеет решений

a если $%(2cosa)^2\le cos^2a+(sina-1)^2\Leftrightarrow -1\le sina\le-\frac{1}{2} \Leftrightarrow a\in[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\frac{11\pi}{6}+2\pi n], n\in Z$%, то имеем $%cos(x-\varphi)=\large\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}\Leftrightarrow x=\normalsize\varphi\pm\large\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}+\normalsize2\pi k$% ,где $%\varphi,$%вспомогательный угол, то есть угол для которого

$%sin\varphi=\frac{cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}, cos\varphi=\frac{sina-1}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}$%

Ответ.

• $%x\in R$% , при $% a=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$%
• $%x\in \oslash$%, при $%a\in(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup (\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n), n\in Z $%
• $%x=\normalsize\varphi\pm\large\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}+\normalsize2\pi k$% ,при $% a\in[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\frac{11\pi}{6}+2\pi n], n\in Z$%