Для всех действительных значений параметра a решить уравнение: $%\sin(x + a) - \cos x = 2\cos a$%.

задан 2 Июн '12 19:49

изменен 2 Июн '12 20:43

DocentI's gravatar image


9.8k938

10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнение запишем в виде $% cosasinx+(sina-1)cosx=2cosa$%.

1)Если $% a=\frac{\pi}{2}+2\pi n , n\in Z$%, то $%x\in R$%

2)Если $% а\ne-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$%, то $%cos^2a+(sina-1)^2\ne0$%, и можем применять метод вспомогательного угла. Уравнение примет вид $% \frac{cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}sinx+\frac{sina-1}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}cosx=\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}$%. И как известно смотрите здесь

  • если $%(2cosa)^2>cos^2a+(sina-1)^2\Leftrightarrow -\frac{1}{2}< sina <1 $%

$%\Leftrightarrow a\in(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup (\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n),n\in Z $%то уравннение не имеет решений

a если $%(2cosa)^2\le cos^2a+(sina-1)^2\Leftrightarrow -1\le sina\le-\frac{1}{2} \Leftrightarrow a\in[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\frac{11\pi}{6}+2\pi n], n\in Z$%, то имеем $%cos(x-\varphi)=\large\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}\Leftrightarrow x=\normalsize\varphi\pm\large\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}+\normalsize2\pi k$% ,где $%\varphi,$%вспомогательный угол, то есть угол для которого

$%sin\varphi=\frac{cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}, cos\varphi=\frac{sina-1}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}$%

Ответ.

  • $%x\in R$% , при $% a=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$%
  • $%x\in \oslash$%, при $%a\in(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup (\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n), n\in Z $%
  • $%x=\normalsize\varphi\pm\large\frac{2cosa}{\sqrt{cos^2a+(sina-1)^2}}+\normalsize2\pi k$% ,при $% a\in[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\frac{11\pi}{6}+2\pi n], n\in Z$%
ссылка

отвечен 2 Июн '12 23:00

изменен 3 Июн '12 11:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\sin(x+a)+\sin(x-\pi/2) = 2\cos a$%;

$%2\sin(x+{a-\pi/2\over 2})\cos{a+\pi/2\over 2} = 2\cos a$%

$%\sin(x+{a-\pi/2\over 2}) = {\cos a\over \cos{a+\pi/2\over 2}}$%

Решение существует при условии, что правая часть по модулю не больше 1. Эту область можно найти, исследовав функцию $%y = {\cos a\over \cos{a+\pi/2\over 2}}$%. Для соответствующих a уравнение сводится к простейшему тригонометрическому.

ссылка

отвечен 2 Июн '12 21:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×781

задан
2 Июн '12 19:49

показан
1325 раз

обновлен
3 Июн '12 11:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru