Здравствуйте!
Есть задача.
Известно, что функция $%y = x + x^4$% является решением однородного дифференциального уравнения $%y' = f(y/x)$%. Найти функцию $%f(z)$% и решить это уравнение.

задан 9 Апр '15 16:40

изменен 9 Апр '15 18:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь $%y'=1+4x^3$%, а $%y/x=1+x^3$%. Эти величины связаны равенством $%y'=4(1+x^3)-3=f(y/x)=f(1+x^3)$%, то есть $%f(z)=4z-3$%. Если $%z=y/x$%, то $%y=xz$%, $%y'=xz'+z=4z-3$%, то есть $%xz'=3z-3$%. Это уравнение с разделяющимися переменными: $%\frac{dz}{z-1}=3\frac{dx}x$%. Интегрирование даёт $%\ln|z-1|=3\ln|x|+\ln C$%, то есть $%z=Cx^3+1$%, а потому $%y=Cx^4+x$%.

ссылка

отвечен 9 Апр '15 18:33

изменен 10 Апр '15 17:02

1

О, спасибо! Я примерно так и думала. :) Только, наверное, dz/(z−1)=3*dx/x? Извините, что придираюсь. (

(9 Апр '15 19:01) Math_2012
1

@Anna_2012: да, конечно, это и имелось в виду! Это не придирка, а дельное замечание. Сейчас исправлю опечатку.

(10 Апр '15 17:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×900

задан
9 Апр '15 16:40

показан
242 раза

обновлен
10 Апр '15 17:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru