Пусть касательные к описанной окружности треугольника $%ABC$% у вершинах $%B$% и $%C$% пересекаются в точке $%D$%. $%E - $% точка пересечения $%AD$% и $%BC$%. Доказать, что $%AE=ED$% тогда и только тогда, когда $%AB^2+AC^2=2BC^2$%.

задан 9 Апр '15 16:50

10|600 символов нужно символов осталось
2

Векторный способ: положим $%\vec{AD}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$% и проанализируем условие $%x+y=2$%, равносильное тому, что середина $%E$% отрезка $%AD$% принадлежит прямой $%BC$%.

По условию, $%OB\perp BD$% и $%OC\perp CD$%, где $%O$% -- центр описанной окружности. Рассматривая радиус-векторы с началом $%O$%, имеем $%R^2=\vec{B}^2=\vec{B}\cdot\vec{D}$% и $%R^2=\vec{C}^2=\vec{C}\cdot\vec{D}$%.

Заметим, что $%\vec{D}=\vec{A}+x(\vec{B}-\vec{A})+y(\vec{C}-\vec{A})=(1-x-y)\vec{A}+x\vec{B}+y\vec{C}$%. Домножая скалярно на векторы $%\vec{B}$% и $%\vec{C}$%, имеем уравнения $%(1-x-y)\vec{A}\cdot\vec{B}+xR^2+y\vec{B}\cdot\vec{C}=R^2$% и $%(1-x-y)\vec{A}\cdot\vec{C}+x\vec{B}\cdot\vec{C}+yR^2=R^2$%.

Легко видеть, что скалярные произведения выражаются через стороны и радиус описанной окружности: $%\vec{A}\cdot\vec{B}=R^2-c^2/2$%, и аналогично для двух других сторон. В итоге первое уравнение принимает вид $%ya^2=(x+y-1)c^2$%, а второе $%xa^2=(x+y-1)b^2$%. В частности, $%(x+y)a^2=(x+y-1)(b^2+c^2)$%. Теперь ясно, что отношение $%\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{x+y}{x+y-1}$% равно $%2$% тогда и только тогда, когда $%x+y=2$%.

ссылка

отвечен 10 Апр '15 1:53

Такой подход с использованием векторов для меня новый. Не знаком с радиус-векторами.

(28 Апр '15 19:01) Роман83

@Роман83: это всего лишь способ обозначения. В принципе, можно писать начало вектора. Обычно радиус-векторы уместно использовать, когда от выбора начала ничего не зависит. Типа того, что радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. То же для центров тяжести и др.

(28 Апр '15 19:13) falcao

@falcao: спасибо большое! Теперь понял. Вы знаете, не раз встречал в литературе решение какой-то олимпиадной задачи, в которой речь шла о радиус-векторах и тогда я и не понимал этих решений.

(28 Апр '15 19:21) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×805

задан
9 Апр '15 16:50

показан
504 раза

обновлен
28 Апр '15 19:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru