Пусть $%AD -$% высота треугольника $%ABC$%, $%O -$% центр описанной окружности и $%H -$% ортоцентр этого треугольника, $%MN -$% средняя линия, параллельная к $%BC$%, $%T -$% точка пересечения $%AO$% с $%MN$%. Доказать, что середина $%OH$% принадлежит $%TD$%.

задан 9 Апр '15 17:00

изменен 30 Июл '15 10:56

EdwardTurJ's gravatar image


6060158

1

Вот эта планиметрия все-таки полегче той, предыдущей =) почти легко - если помнить, что "точки симметричные ортоцентру лежат на описанной окружности".. сейчас напишу..

(9 Апр '15 23:07) ЛисаА

@ЛисаА: напишите! Я только что с условием этой задачи ознакомился, но сразу идей никаких не возникло.

(9 Апр '15 23:24) falcao

ага.. только когда я говорила про сложную "предыдущую" планиметрию - я не учла, что @Роман83 уже успел предложить еще парочку задач по планиметрии =)
( "сложная" - это я о той задаче, где надо было доказать перпендикулярность медианы $%CM$% и прямой $%RH$%.. на той задаче я "сломалась".. другие я даже не успела еще глянуть.. )

(10 Апр '15 0:19) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
3

Продлим высоту $%AD$% до пересечения с описанной окружностью в точке $%E$%, достроим радиус $%AO$% до диаметра $%AF$%, и проведем радиус $%OE$%.
Треуг-к $%ADT$% - равнобедренный ( так как прямая $%MN$% будет серединным перпендикуляром к высоте $%AD$%, т. е. любая точка $%T$%, лежащая на $%MN$%, будет равноудалена от точек $%A$% и $%D$% ), и в этом равнобедренном треугольнике обозначим равные углы $%\angle DAT = \angle ADT = \alpha$%. Тогда угол $%\angle DTF = 2\alpha$% ( это внешний угол треугольника $%DTA$%, равный сумме двух внутренних не смежных с ним ). И угол $%\angle EOF = 2\alpha$% ( т. к. это центральный угол, соответствующий вписанному углу $%\angle EAF = \alpha$% ). А так как $%\angle DTF = \angle EOF$%, то прямые параллельны: $%TD || OE$%.
Но известно, что точки, симметричные ортоцентру треугольника, принадлежат описанной окружности - то есть $%HD = DE$% , то есть в треугольнике $%OHE$% прямая $%TD$% пересекает сторону $%HE$% в ее середине, и при этом $%TD$% параллельна основанию $%OE$%, значит, $%TD$% - содержит среднюю линию треугольника $%OHE$% ( отрезок $%KD$% - средняя линия, точка $%K$% - середина $%HO$% )
P.S. Если про "точки симметричные ортоцентру" - "не известно", то можно и доказать.. Треугольник $%BHE$% - равнобедренный, потому что $%\angle BEA = \angle BCA = \gamma$% ( т.к. опираются на одну и ту же дугу ), и $%\angle BHE = 90 - \angle HBD = 90 - ( 90 - \gamma ) = \gamma$%, т.е. действительно $%BE = HB$%. А так как треугольник равнобедренный, то высота $%BD$% является одновременно медианой: $%HD = ED$%. alt text

ссылка

отвечен 9 Апр '15 23:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Введём прямоугольную систему: $%D(0,0)$% - начало координат, $%A(0,1)$%, $%C(p,0)$%, $%B(q,0)$%.

Последовательно находим: $$H(0,-pq),O\left(\frac{p+q}2,\frac{pq+1}2\right),K\left(\frac{p+q}4,\frac{-pq+1}4\right),MN:y=\frac12,$$ $$AO:\frac{2y-(pq+1)}{pq-1}=\frac{2x-(p+q)}{p+q},T\left(\frac{-(p+q)}{2(pq-1)},\frac12\right),$$ $$k_{DK}=\frac{-(p+q)}{pq-1},k_{DT}=\frac{-(p+q)}{pq-1},$$ $$k_{DK}=k_{DT}.$$

ссылка

отвечен 10 Апр '15 16:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×637
×6

задан
9 Апр '15 17:00

показан
438 раз

обновлен
30 Июл '15 10:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru