Найти все многочлены $%P(x,y,z)$% такие, что $$P\left(x+\frac1x,y+\frac1y,z+\frac1z\right)=0$$ для произвольных $%x,y$% и $%z$% таких, что $%xyz=1$%.

задан 10 Апр '15 17:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

Нетрудно проверить, что $%a^2+b^2+c^2-abc-4=0$% при $%a=x+\frac1x$%, $%b=y+\frac1y$%, $%c=z+\frac1z$% и $%xyz=1$%. Достаточно теперь доказать, что многочлен $%P(a,b,c)$% из условия делится на указанный выше многочлен.

После деления с остатком в кольце многочленов $%\mathbb Z[a,b][c]$% получатся частное и остаток: $%P(a,b,c)=(a^2+b^2+c^2-abc-4)Q(a,b,c)+R(a,b,c)$%, где $%R(a,b,c)=cR_1(a,b)+R_2(a,b)$%. Если остаток ненулевой, то это фактически означает, что $%c=xy+\frac1{xy}$% рационально выражается через $%a=x+\frac1x$% и $%b=y+\frac1y$%. Однако связь между $%c$% и предыдущими величинами описывается уравнением $%a^2+b^2+c^2-abc-4=0$%. Если бы оно имело корень в кольце рациональных функций, то многочлен в левой части был бы приводим не только над $%\mathbb Q(a,b)$%, но и над $%\mathbb Z[a,b]$%, что доказывается при помощи средств типа леммы Гаусса. Неприводимость же над $%\mathbb Z[a,b]$% достаточно очевидна. Можно подставить значения, скажем, $%a=b=3$%, при котором корни уравнения относительно $%c$% иррациональны.

ссылка

отвечен 12 Апр '15 3:03

изменен 12 Апр '15 11:13

@falcao: Должно быть "рационально выражается через $%a=x+\frac1x$% и $%b=y+\frac1y$%".

(12 Апр '15 8:36) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: да, конечно. Сейчас исправлю.

(12 Апр '15 11:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×322
×74

задан
10 Апр '15 17:38

показан
1247 раз

обновлен
12 Апр '15 11:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru