Доказать, что:
1) характеристический многочлен линейного преобразования делится на характеристический многочлен его ограничения на инвариантном подпространстве;
2) если все корни характеристического многочлена линейного преобразования $%\varphi$% линейного пространства $%\mathcal L$% принадлежат полю, над которым определено $%\mathcal L$%, то всякое подпространство в $%\mathcal L$%, инвариантное относительно $%\varphi$%, содержит собственный вектор этого преобразования;
3) если линейное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств линейного преобразования $%\varphi$%, то характеристический многочлен $%\varphi$% равен произведению характеристических многочленов ограничений $%\varphi$% на этих инвариантных подпространствах.

задан 12 Апр '15 22:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Выберем базис инвариантного подпространства и дополним его до базиса всего пространства. В полученном базисе запишем матрицу преобразования. Она будет иметь следующую блочную структуру: $$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix},$$ где $%A$% будет матрицей ограничения оператора в базисе подпространства. Характеристический многочлен блочной матрицы равен произведению х.м. матриц $%A$% и $%C$%, откуда следует то, что надо было доказать.

2) Рассматриваем х.м. ограничения оператора на инвариантом подпространстве. Его корни являются корнями х.м. многочлена оператора, что следует из предыдущего пункта. Поэтому они принадлежат основному полю. Для одного из таких значений рассматриваем собственный вектор для ограничения оператора на подпространстве. Решения соответствующей однородной системы принадлежат этому же полю, и они дают координаты собственного вектора, принадлежащего подпространству (он, очевидно, будет собственным вектором преобразования всего пространства).

3) Выбирая базисы в каждом из слагаемых, приходим к базису, в котором матрица преобразования имеет блочный вид из первого пункта, где $%B=0$%, а матрицы $%A$% и $%C$% суть матрицы ограничений оператора на каждом из прямых слагаемых. Поэтому х.м. равен произведению характеристических многочленов матриц $%A$% и $%C$%.

ссылка

отвечен 13 Апр '15 0:23

изменен 13 Апр '15 1:22

@falcao, разве в пункте 1) х.м. блочной матрицы не $%A \ C$%

(13 Апр '15 1:13) Uchenitsa

@Uchenitsa: конечно, имелись в виду матрицы "по углам", то есть A и C. Это описка. Я сейчас исправлю.

(13 Апр '15 1:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,329
×415
×155

задан
12 Апр '15 22:54

показан
1989 раз

обновлен
13 Апр '15 1:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru