2
1

Найти с точностью до изоморфизма все группы порядка 6. Описать найденные группы в виде групп перестановок.

задан 13 Апр '15 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
4

Таких групп с точностью до изоморфизма ровно две: это циклическая группа $%\mathbb Z_6$% порядка $%6$%, а также симметрическая группа $%S_3$% порядка $%3!=6$%. Первая из групп абелева, а вторая неабелева, поэтому они неизоморфны.

Дадим доказательство того, что других групп нет, опираясь на вещи типа теоремы Лагранжа о подгруппах. Пусть $%|G|=6$%. Если в $%G$% есть элемент порядка $%6$%, то $%G$% совпадает с циклической подгруппой этого элемента. Далее будем считать, что элементов порядка $%6$% в $%G$% не имеется, и тогда по следствию из теоремы Лагранжа, порядки неединичных элементов могут быть равны только $%2$% или $%3$%.

Допустим, что в $%G$% есть элемент $%a$% порядка $%3$%. Его степени образуют подгруппу $%\{e,a,a^2\}$% порядка $%3$%, где $%a^3=e$%. Пусть $%b$% -- элемент, не принадлежащий этой подгруппе. Тогда оставшиеся три элемента образуют множество $%\{b,ba,ba^2\}$%.

Очевидно, что $%b^2\notin\{b,ba,ba^2\}$%. Тогда $%b^2$% равно $%e$%, $%a$% или $%a^2=a^{-1}$%. Во втором случае $%b$% оказывается элементом порядка $%6$%, и так же для третьего случая, поскольку $%a$% имеет порядок $%3$%. Следовательно, $%b^2=e$%.

Теперь рассмотрим элемент $%ab$%. Он не принадлежит $%\{e,a,a^2\}$%, а также не равен $%b$%. Поэтому он равен $%ba$% или $%ba^2$%. В первом случае элементы $%a$%, $%b$% перестановочны, поэтому получается, что $%ab$% имеет порядок $%6$%, так как $%(ab)^2=a^2b^2=a^2\ne e$% и $%(ab)^3=a^3b^3=b\ne e$%. Таким образом, $%ab=ba^2$%.

Полученное равенство вместе с предыдущими однозначно задаёт таблицу умножения на множестве $%\{e,a,a^2,b,ba,ba^2\}$%. Действительно, умножение степеней $%a$% происходит однозначно, и то же для случая умножений вида $%ba^m\cdot a^n$%. Из $%ab=ba^2$% следует, что $%a^2b=aba^2=ba^4=ba$%. Это позволяет однозначно перемножать элементы вида $%a^m$% и $%b$%, и в итоге получается однозначность умножения для $%a^m\cdot ba^n$%. Домножая слева на $%b$% с учётом $%b^2=e$%, получаем однозначность результата для $%ba^m\cdot ba^n$%.

Теперь рассмотрим случай, когда элементов порядка $%3$% в группе не имеется. Тогда $%g^2=e$% для всех $%g\in G$%. Всякая группа с этим свойством коммутативна, поскольку оно означает, что $%g=g^{-1}$% для всех элементов группы. Но тогда $%xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx$% для любых $%x,y\in G$%.

Пусть $%a\ne e$% и $%b\notin\{e,a\}$%. Тогда множество $%\{e,a,b,ab\}$% образует подгруппу в $%G$% в силу того, что $%ab=ba$%. Это противоречит теореме Лагранжа, так как $%4$% не делит $%6$%.

Таким образом, помимо циклической, имеется не более одной группы порядка $%6$% с точностью до изоморфизма. То, что построенная выше таблица умножения приводит к группе, следует из наличия примера группы $%S_3$%, где $%a=(123)$% и $%b=(12)$%.

Циклическую группу порядка $%n$% легко представить циклическими перестановками множества $%\{1,2,\ldots,n\}$%, где образующим является цикл $%(12\ldots n)$%. Группа $%S_3$% уже имеет вид группы подстановок.

ссылка

отвечен 13 Апр '15 1:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×755
×63

задан
13 Апр '15 1:05

показан
3005 раз

обновлен
13 Апр '15 1:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru