Доказать, что если пересечение двух нормальных делителей $%H_1$% и $%H_2$% группы $%G$% содержит лишь единичный элемент, то $%∀h_1 ∈ H_1,h_2 ∈ H_2 \ \ h_1 h_2 = h_2h_1$%.

задан 13 Апр '15 2:53

10|600 символов нужно символов осталось
3

Это следует из того, что элемент $%h_1^{-1}h_2^{-1}h_1h_2$% равен как $%h_1^{-1}(h_2^{-1}h_1h_2)\in H_1$%, так и $%(h_1^{-1}h_2^{-1}h_1)h_2\in H_2$%, поэтому он равен единице.

ссылка

отвечен 13 Апр '15 2:56

@falcao, а почему $%h_1^{-1}(h_2^{-1}h_1h_2)\in H_1$%?

(20 Апр '15 21:35) Intense

@Intense: по определению нормальной подгруппы. Элемент $%h_1^{-1}$% взят из $%H_1$%, а взятый в скобки элемент сопряжён элементу $%h_1\in H_1$%. В этом смысл понятия нормальной (а не какой попало) подгруппы. Произведение же элементов подгруппы ей всегда принадлежит.

(20 Апр '15 21:37) falcao

@falcao, но ведь получается, что мы используем при доказательстве то, что надо доказать ( то что $%h_1^{-1}h_2^{-1}h_1h_2$%)?

(20 Апр '15 21:48) Intense

@Intense: ничего подобного. Доказать надо, что указанный элемент равен единице. Для этого мы показываем, что он принадлежит как $%H_1$%, так и $%H_2$%. Используется при этом лишь определение нормальной подгруппы.

(20 Апр '15 22:01) falcao

@falcao, тогда я не понимаю. Нам надо доказать, что $%h_1 h_2 = h_2h_1$%, но $%h_1^{-1}h_2^{-1}h_1h_2$% получается из этого равенства, и равен 1. И мы подтверждаем, что он равен 1, так как принадлежит обеим подгруппам. Или этот элемент берется из какого-то другого места?

(20 Апр '15 22:15) Intense

@Intense: равенство $%h_1h_2=h_2h_1$% в любой группе равносильно равенству $%h_1^{-1}h_2^{-1}h_1h_2=e$%. Это очевидно подразумеваемый факт. Одно равенство из другого получается при помощи домножений и сокращений. Поэтому мы доказываем второе равенство, на основании того, что коммутатор (то есть элемент $%h_1^{-1}h_2^{-1}h_1h_2$%) принадлежит пересечению подгрупп, а оно единично. Из него сразу следует первое равенство (домножение обеих частей слева на $%h_2h_1$%).

(20 Апр '15 22:24) falcao

@falcao, Почему элемент (h2^(-1)h1h2) принадлежит h1?

(16 Апр '19 23:06) oop

@oop: он принадлежит не h1 (элементу), а H1 (подгруппе). Она по условию нормальна, и тогда это имеет место по одному из определений нормальной подгруппы. (Если N нормальна в G, то для любого h из N и для любого g из G, сопряжённый элемент g^{-1}hg также принадлежит N.)

P.S. Зачем Вы всё время пишете в форме ответа, а не комментария?

(16 Апр '19 23:12) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,258
×20

задан
13 Апр '15 2:53

показан
1280 раз

обновлен
16 Апр '19 23:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru