|
Как разложить в ряд Фурье по синусам след. функцию: $%f(x)=x^2+1 $% при $%0 < x < 1$%, $%T=2$%. задан 3 Июн '12 17:31 
nichego_lich... |
|
Нужно продолжить ее нечетным образом на промежуток [-1,0], т.е. рассмотреть функцию $% F(x)=\left\{\begin{matrix} x^2+1,\;если \; 0 \lt x \lt 1\\ -x^2-1,\;если \; -1 \le x \lt 0 \end{matrix}\right. $% и разложить ее в ряд Фурье, расписав коэффициенты Фурье по стандартной формуле через интеграл. Дополнение (на ответ @Michal). Нет, это неправильно. Общая формула разложения в ряд Фурье нечетной функции $$F(x)=\sum_{k=1}^{\infty}A_ksin(x \frac{2 \pi k}{T})$$. После умножения обеих частей этого равенства на $%sin(x \frac{2 \pi n}{T}) $% и интегрирования от $%-T/2$% до $%T/2$% получаем $$A_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}F(x)sin(x \frac{2 \pi n}{T})dx $$ Или, учитывая четность подынтегрального выражения, $$A_n=\frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}F(x)sin(x \frac{2 \pi n}{T})dx $$ В данном случае T=2, а на промежутке (0,T/2) функция F(x) совпадает с f(x), поэтому $$A_n=2\int_{0}^{1}(x^2+1)sin(n \pi x)dx $$ отвечен 3 Июн '12 20:55 
Андрей Юрьевич т.е. свести все в один ряд,или получится 2 ряда?
(3 Июн '12 20:59)
nichego_lich...
Получится один ряд только из синусов, т.к. ф-я F(x) - нечетная.
(3 Июн '12 21:02)
Андрей Юрьевич
вот такое начало будет правильным? (2/pi)(sin(x^2+1)x+sin(-x^2-1)x)dx (интеграл от 1 до 0)
(3 Июн '12 21:53)
nichego_lich...
Давайте будем нормально размечать формулы. Можно, например, через вот этот редактор http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
(3 Июн '12 22:03)
Андрей Юрьевич
Спасибо большое!!!)))
(3 Июн '12 23:03)
nichego_lich...
|
|
Может вот так:
отвечен 3 Июн '12 22:19 
Michal Почему у 3 с низу выражения 4/T?это из-за четности?
(3 Июн '12 23:04)
Michal
Потому что в силу четности $%\int_{-T/2}^{T/2}= 2 \int_{0}^{T/2}$%
(3 Июн '12 23:07)
Андрей Юрьевич
Понятно))Спасибо))Но возник еще один вопрос: чем отличается вот такая общая формула разложения в ряд Фурье нечетной функции от той,которую Вы написали?
(7 Июн '12 13:39)
Michal
@Michal, формулы из Latex вы можете вставлять в ответ. Для этого поместите формулу между символами $$ или $%.
(7 Июн '12 23:13)
Angry Bird
В Вашей формуле ошибка, Вы, видимо, имели в виду $%\sum_{n=1}^\infty b_n sin(nx)$%. Но тогда период разложения будет равен $%2\pi$%. Я написал общую формулу для произвольного периода $%T$%.
(8 Июн '12 12:31)
Андрей Юрьевич
Аааа,понятно. И это все записи Ваши-это полный ответ?
(15 Июн '12 13:51)
Michal
Нужно еще вычислить интеграл в $%A_n$%
(15 Июн '12 15:01)
Андрей Юрьевич
Вот так: $% A_{n}=2\int_{0}^{1}((x^2+1)sin(n\Pi x))dx=2\int_{0}^{1}x^2sin(n\Pi x)dx+2\int_{0}^{1}sin(n\Pi x)dx=2((\frac{x^3}{3}sin(n\Pi x))(xsin(n\Pi x)))\left | _{0}^{1}=2(\frac{1}{3}sin(n\Pi)+sin(n\Pi))=\frac{8}{3}sin(n\Pi)$%
(15 Июн '12 18:34)
Michal
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
У меня такая же тема в грядущей к.р.,можете проверить мое решение такой задачи (руку набиваю): $$A_n=2\int_{0}^{1}(x^2+1)sin(n \pi x)dx=2(\frac{3\pi^{2}-4}{\Pi ^3})=\frac{6\pi^{2}-8}{\Pi ^3}$$ отвечен 16 Июн '12 14:36 
Eva Что такое $%\Pi$%? И где в ответе $%n$%?
(16 Июн '12 16:34)
Андрей Юрьевич
Перепутала знаки..Это Пи. $$ A_{n}=...=\frac{6\pi ^2n^2-8}{\pi ^3n^3} $$
(16 Июн '12 23:48)
Eva
Распишите подробно, как получился ответ.
(17 Июн '12 22:30)
Андрей Юрьевич
|
|
Кажется, это выражение неправильное... Решила вот так $$ A_{n}=2\int_{0}^{1}(x^2+1)sin(n\pi x)dx=$$$$ \frac{-x^2cos(\Pi nx)}{\pi n}+\frac{2xsin(\pi nx)}{\pi ^2n^2}+\frac{2cos(\pi ^2n^2)}{n^3\pi ^3}=-\frac{x^2cos(\pi x)}{\pi2n}+\frac{2xsin(\pi nx)}{\pi^2n^2}+\frac{2cos(\pi^3 n^3x)}{\pi^2n^2} $$ отвечен 17 Июн '12 22:55
Eva |