Как разложить в ряд Фурье по синусам след. функцию: $%f(x)=x^2+1 $% при $%0 < x < 1$%, $%T=2$%.

задан 3 Июн '12 17:31

изменен 17 Июн '12 23:10

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нужно продолжить ее нечетным образом на промежуток [-1,0], т.е. рассмотреть функцию $% F(x)=\left\{\begin{matrix} x^2+1,\;если \; 0 \lt x \lt 1\\ -x^2-1,\;если \; -1 \le x \lt 0 \end{matrix}\right. $% и разложить ее в ряд Фурье, расписав коэффициенты Фурье по стандартной формуле через интеграл.

Дополнение (на ответ @Michal). Нет, это неправильно. Общая формула разложения в ряд Фурье нечетной функции $$F(x)=\sum_{k=1}^{\infty}A_ksin(x \frac{2 \pi k}{T})$$. После умножения обеих частей этого равенства на $%sin(x \frac{2 \pi n}{T}) $% и интегрирования от $%-T/2$% до $%T/2$% получаем $$A_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}F(x)sin(x \frac{2 \pi n}{T})dx $$ Или, учитывая четность подынтегрального выражения, $$A_n=\frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}F(x)sin(x \frac{2 \pi n}{T})dx $$ В данном случае T=2, а на промежутке (0,T/2) функция F(x) совпадает с f(x), поэтому $$A_n=2\int_{0}^{1}(x^2+1)sin(n \pi x)dx $$

ссылка

отвечен 3 Июн '12 20:55

изменен 4 Июн '12 0:37

т.е. свести все в один ряд,или получится 2 ряда?

(3 Июн '12 20:59) nichego_lich...

Получится один ряд только из синусов, т.к. ф-я F(x) - нечетная.

(3 Июн '12 21:02) Андрей Юрьевич

вот такое начало будет правильным? (2/pi)(sin(x^2+1)x+sin(-x^2-1)x)dx (интеграл от 1 до 0)

(3 Июн '12 21:53) nichego_lich...

Давайте будем нормально размечать формулы. Можно, например, через вот этот редактор http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

(3 Июн '12 22:03) Андрей Юрьевич

Спасибо большое!!!)))

(3 Июн '12 23:03) nichego_lich...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Может вот так:

интеграл

ссылка

отвечен 3 Июн '12 22:19

изменен 7 Июн '12 23:11

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Почему у 3 с низу выражения 4/T?это из-за четности?

(3 Июн '12 23:04) Michal

Потому что в силу четности $%\int_{-T/2}^{T/2}= 2 \int_{0}^{T/2}$%

(3 Июн '12 23:07) Андрей Юрьевич

Понятно))Спасибо))Но возник еще один вопрос: чем отличается вот такая общая формула разложения в ряд Фурье нечетной функции от той,которую Вы написали?

alt text

(7 Июн '12 13:39) Michal

@Michal, формулы из Latex вы можете вставлять в ответ. Для этого поместите формулу между символами $$ или $%.

(7 Июн '12 23:13) Angry Bird

В Вашей формуле ошибка, Вы, видимо, имели в виду $%\sum_{n=1}^\infty b_n sin(nx)$%. Но тогда период разложения будет равен $%2\pi$%. Я написал общую формулу для произвольного периода $%T$%.

(8 Июн '12 12:31) Андрей Юрьевич

Аааа,понятно. И это все записи Ваши-это полный ответ?

(15 Июн '12 13:51) Michal

Нужно еще вычислить интеграл в $%A_n$%

(15 Июн '12 15:01) Андрей Юрьевич

Вот так: $% A_{n}=2\int_{0}^{1}((x^2+1)sin(n\Pi x))dx=2\int_{0}^{1}x^2sin(n\Pi x)dx+2\int_{0}^{1}sin(n\Pi x)dx=2((\frac{x^3}{3}sin(n\Pi x))(xsin(n\Pi x)))\left | _{0}^{1}=2(\frac{1}{3}sin(n\Pi)+sin(n\Pi))=\frac{8}{3}sin(n\Pi)$%

(15 Июн '12 18:34) Michal
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

У меня такая же тема в грядущей к.р.,можете проверить мое решение такой задачи (руку набиваю): $$A_n=2\int_{0}^{1}(x^2+1)sin(n \pi x)dx=2(\frac{3\pi^{2}-4}{\Pi ^3})=\frac{6\pi^{2}-8}{\Pi ^3}$$

ссылка

отвечен 16 Июн '12 14:36

изменен 16 Июн '12 16:33

%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%B9%20%D0%AE%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87's gravatar image


3.9k318

Что такое $%\Pi$%? И где в ответе $%n$%?

(16 Июн '12 16:34) Андрей Юрьевич

Перепутала знаки..Это Пи. $$ A_{n}=...=\frac{6\pi ^2n^2-8}{\pi ^3n^3} $$

(16 Июн '12 23:48) Eva

Распишите подробно, как получился ответ.

(17 Июн '12 22:30) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Кажется, это выражение неправильное... Решила вот так $$ A_{n}=2\int_{0}^{1}(x^2+1)sin(n\pi x)dx=$$$$ \frac{-x^2cos(\Pi nx)}{\pi n}+\frac{2xsin(\pi nx)}{\pi ^2n^2}+\frac{2cos(\pi ^2n^2)}{n^3\pi ^3}=-\frac{x^2cos(\pi x)}{\pi2n}+\frac{2xsin(\pi nx)}{\pi^2n^2}+\frac{2cos(\pi^3 n^3x)}{\pi^2n^2} $$

ссылка

отвечен 17 Июн '12 22:55

изменен 17 Июн '12 23:11

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×355
×45

задан
3 Июн '12 17:31

показан
2865 раз

обновлен
17 Июн '12 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru