Как найти максимально возможную площадь трёх не пересекающихся кругов вписанных в треугольник с длинами сторон $%a$%, $%b$%, $%c$% ?

Как вообще определить что это будут за круги? Будут ли это всегда круги вписанные в треугольники, образованные соединением центра вписанной окружности треугольника $%ABC$% и его вершинами? Или вписанный в треугольник $%ABC$% круг уже будет одним из этих трёх кругов? (тогда как найти остальные два?)

@Виталина, я не могу свой ответ выбрать верным, что логично. Почему я не могу писать комментарии к своему же вопросу я не могу понять, пожалуйста разберитесь.

задан 13 Апр '15 17:24

изменен 27 Апр '15 12:23

@EdwardTurJ, Спасибо! Понял только что мои предположения были так же не верны, как Мальфатти и всех математиков в течении 105 лет) И что круги Мальфатти не являются решениями данной задачи. Доказательства интересны, но из них я так и не понял, как построить нужные мне круги(или хотя бы найти их суммарную площадь). Что-то упустил?

Почитал ещё о ней в "Поиск решения" Балка(в упрощённой форме) и в "Математическом просвещении" 2, 1998г

(13 Апр '15 19:33) Isaev

@Isaev: Решение экстремальной задачи также не нашёл.

(13 Апр '15 21:31) EdwardTurJ

Вот похоже решение для равнобедренных: http://tube.geogebra.org/student/m37664

И более общее в сравнении с Мальфатти: http://tube.geogebra.org/student/m44970

Последнее, видимо, как раз то, что я хотел... Как я понял первая окружность просто вписанная, вторая вписывается в бОльший треугольник из образованных касательными к окружности под прямым углом к биссектрисе исходного треугольника и его двумя сторонами, третья так же. Вроде работает всегда. Как это выразить математически?

(14 Апр '15 16:32) Isaev
2

@EdwardTurJ,

Вот оно: Впервые данная задача была решена V.Zalgaller и G.Loss в 1991 году. Они доказали, что для $%\triangle ABC$%, где $%\angle A\le\angle B\le\angle C$% решением будут три круга $%k_1$%, $%k_2$%, $%k_3$%, где $%k_1$% - вписанный круг, $%k_2$% вписан между $%\angle A$% и внешней касательной к $%k_1$%, в то время как $%k_3$% вписан между $%\angle B$% и внешней касательной к $%k_1$% или вписан между $%\angle A$% и внешней касательной к $%k_2$% в зависимости от того, $%\sin (\frac A2)\ge\tan (\frac B2)$% или $%\sin (\frac A2)<\tan (\frac B2)$%.

(14 Апр '15 19:10) Isaev
1

@Isaev, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(26 Апр '15 11:23) Виталина
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Впервые данная задача была решена V.Zalgaller и G.Loss в 1991 году. Они доказали, что для $%\triangle ABC$%, где $%\alpha\le\beta\le\gamma$% решением будут три круга $%k_1$%, $%k_2$%, $%k_3$%, где $%k_1$% - вписанный круг, $%k_2$% вписан между $%\alpha$% и внешней касательной к $%k_1$%, в то время как $%k_3$% вписан между $%\beta$% и внешней касательной к $%k_1$% или вписан между $%\angle A$% и внешней касательной к $%k_2$% в зависимости от того, $%\sin (\alpha)\ge\tan (\frac{\beta}2)$% или $%\sin (\alpha) <\tan (\frac{\beta}2)$%.

ссылка

отвечен 26 Апр '15 4:06

изменен 26 Апр '15 17:31

1

В оригинале http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01249514#page-1

$$\sin\alpha\le\tan\frac{\beta}2$$

(26 Апр '15 11:13) EdwardTurJ

Спасибо, поправил!

Ошибка, похоже, в источнике, откуда я брал:

http://estoyanov.net/files/MATAMATIKA/20874767-Geometric-Problems-on-Maxima-and-Minima.pdf стр.80-81

(26 Апр '15 17:36) Isaev
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,167
×480
×9

задан
13 Апр '15 17:24

показан
848 раз

обновлен
27 Апр '15 12:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru