Здравствуйте, прошу вашей помощи: нужно найти полярный момент инерции однородной пластинки $$ D: 9x^{2}+y^{2} \le 3 .$$ Что тут вообще нужно делать? Можете расписать, пожалуйста, так как пару пропустил, ничего не понял. Спасибо!

задан 16 Апр '15 9:56

изменен 16 Апр '15 21:28

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь нужно вычислить такой интеграл: $%\iint\limits_D(x^2+y^2)dx\,dy$%. Сделать это можно по-разному. Можно записать в полярных координатах неравенство, задающее область интегрирования: $%r^2(9\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\le3$%, что равносильно $%r^2\le\frac3{9\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}=\frac3{5+4\cos2\varphi}$%. Угол здесь меняется от $%0$% до $%2\pi$% (так как неравенство задаёт эллипс с центром в начале координат). Ввиду того, что $%dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$%, получается $%\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\sqrt{\frac3{5+4\cos2\varphi}}}r^3\,dr=\frac94\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\varphi}{(5+4\cos2\varphi)^2}=\frac{5\pi}6$%. Интеграл здесь вычисляется при помощи универсальной тригонометрической замены. Вычисления там достаточно сложные; я их опускаю.

Приведём второй способ решения. Здесь мы используем такую замену, при которой область интегрирования становится кругом. А именно, полагаем $%x=\frac13r\cos t$%, $%y=r\sin t$%, где $%t\in[0;2\pi]$%. Неравенство из условия принимает вид $%r^2\le3$%. Якобиан замены равен $%\frac13r$%. Подынтегральная функция равна $%x^2+y^2=r^2(\frac19\cos^2t+\sin^2t)=\frac19r^2(5-4\cos2t)$%. Сам интеграл приобретает вид $%\frac1{27}\int\limits_0^{2\pi}(5-4\cos2t)dt\int\limits_0^{\sqrt3}r^3\,dr=\frac1{12}\int\limits_0^{2\pi}(5+4\cos2t)dt=\frac{5\pi}6$%. Второй способ имеет смысл предпочесть, так как он проще.

ссылка

отвечен 16 Апр '15 10:32

Благодарю вас.

(16 Апр '15 17:57) mishamusha
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,409

задан
16 Апр '15 9:56

показан
279 раз

обновлен
16 Апр '15 17:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru