Как разложить ф-ю в ряд Тейлора,в окрестности точки А и вычислить $%\int f(x)dx$% с помощью степенных рядом? $$f(x)=\frac{5x-\sin5x}{x^2}, A=0$$ по степеням Х.

$$f(x)=5x+25x^2+\frac{625}{25}x^2+...+\frac{1}{(2k-1)!}x^{5^kx^5}-1 $$

задан 3 Июн '12 23:21

изменен 11 Июн '12 20:46

А в чем проблема?

(3 Июн '12 23:31) Андрей Юрьевич

Я запуталась с производными и не смогла решить дальше...

(3 Июн '12 23:33) Michal

Помогите,пожалуйста, погрешность оценить...

(15 Июн '12 13:50) Michal
10|600 символов нужно символов осталось
1

Производные здесь не нужны. Есть 5 канонических разложений в ряд Тейлора, одно из них - разложение синуса $%sin(x)=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+...+(-1)^{k+1}\frac{1}{(2k-1)!}x^{2k-1}+...$%. Вам нужно подставить это разложение в Вашу функцию (с учетом, что у вас не $%x$%, а $%5x$%), получить новый ряд и проинтегрировать его. Это и будет ответ задачи.

Дополнение. $$\sin(5x)=5x-\frac{125}{6}x^3+\frac{3125}{120}x^5+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k-1}}{(2k-1)!}x^{2k-1}+...$$, $$5x-\sin(5x)=\frac{125}{6}x^3-\frac{3125}{120}x^5+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}+...$$, $$f(x)=\frac{5x-\sin(5x)}{x^2} = \frac{125}{6}x-\frac{3125}{120}x^3+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k-1}+...$$ $$\int f(x) dx=\frac{125}{6 \cdot 2}x^2-\frac{3125}{120 \cdot 4}x^4+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)! \cdot 2k}x^{2k}+...$$ Или в компактной записи $$f(x)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k-1}$$ $$\int f(x) dx=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)! \cdot 2k}x^{2k}$$

ссылка

отвечен 4 Июн '12 0:35

изменен 12 Июн '12 17:46

Я написала ответ,он правильный?

(8 Июн '12 23:53) Michal

Нет, не правильный. Это сама функция или интеграл? Ответ неправильный и в том, и в другом случае. Давайте подробно, по шагам.

(9 Июн '12 19:36) Андрей Юрьевич

Все исправила.Если мы заменим Х на 5Х,то мы получаем то,на что я исправила?

(9 Июн '12 22:02) Michal

Нет, когда мы заменяем $%x$% на $%5x$%, то вместо $%x^2$% получается $%(5x)^2=25x^2$%, вместо $%x^3$% получается $%(5x)^3=125x^2$%, и вообще, вместо $%x^k$% получается $%5^k \cdot x^k$%. И как насчет деления на $%x^2$% ?

(10 Июн '12 1:34) Андрей Юрьевич

Ой,спасибо))Исправила))Теперь правильно?

(11 Июн '12 21:00) Michal

Сдаюсь. Привожу полное решение и правильный ответ.

(12 Июн '12 0:24) Андрей Юрьевич

Ого...А как же знаменатель?Мы не должны делить на x^2?и

(12 Июн '12 12:47) Michal

Третья строчка дополнения - это результат деления второй строчки на $%x^2$%

(12 Июн '12 17:48) Андрей Юрьевич
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×48

задан
3 Июн '12 23:21

показан
1252 раза

обновлен
15 Июн '12 13:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru