ряд-тейлора - Ряд Тейлора.

Производные здесь не нужны. Есть 5 канонических разложений в ряд Тейлора, одно из них - разложение синуса $%sin(x)=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+...+(-1)^{k+1}\frac{1}{(2k-1)!}x^{2k-1}+...$%. Вам нужно подставить это разложение в Вашу функцию (с учетом, что у вас не $%x$%, а $%5x$%), получить новый ряд и проинтегрировать его. Это и будет ответ задачи.

Дополнение. $$\sin(5x)=5x-\frac{125}{6}x^3+\frac{3125}{120}x^5+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k-1}}{(2k-1)!}x^{2k-1}+...$$, $$5x-\sin(5x)=\frac{125}{6}x^3-\frac{3125}{120}x^5+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}+...$$, $$f(x)=\frac{5x-\sin(5x)}{x^2} = \frac{125}{6}x-\frac{3125}{120}x^3+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k-1}+...$$ $$\int f(x) dx=\frac{125}{6 \cdot 2}x^2-\frac{3125}{120 \cdot 4}x^4+...+(-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)! \cdot 2k}x^{2k}+...$$ Или в компактной записи $$f(x)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k-1}$$ $$\int f(x) dx=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)! \cdot 2k}x^{2k}$$