Даны переменные $%a, b, c$% и число $%n$%, найти количество возможных значений переменных $%a, b, c$% в зависимости от $%n$%, при соблюдении следующих условий: $%1 ≤ a ≤ b ≤ c < a + b ≤ n$%

задан 16 Апр '15 15:52

изменен 16 Апр '15 15:58

Написал программку, например при $%n=5$% ответ $%9$%, как это вычислить математически?

(16 Апр '15 16:17) Isaev

При n=5 должно быть 8, а не 9. Вот сами варианты:

[1, 1, 1], [1, 2, 2], [1, 3, 3], [1, 4, 4], [2, 2, 2], [2, 2, 3], [2, 3, 3], [2, 3, 4]

(16 Апр '15 16:33) falcao

Да 8, конечно... Это я не правильно написал просто.

(16 Апр '15 17:16) Isaev
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%2\le k=a+b\le n$%. При этом $%1\le a\le[k/2]$%, $%k-a=b\le c\le k-1$%. Переменная $%c$% здесь принимает $%a$% значений, поэтому при фиксированном $%k$% получится $%[k/2]\cdot([k/2]+1)/2$% вариантов, а общее их число составит $$\sum\limits_{k=2}^n\frac{[k/2]\cdot([k/2]+1)}2.$$

Представим ответ в более удобном виде. Если $%n=2m+1$% нечётно, то сумма составит $%\frac{1\cdot2}2+\frac{1\cdot2}2+\cdots+\frac{m(m+1)}2+\frac{m(m+1)}2=1\cdot2+2\cdot3+\cdots+m(m+1)=\frac{m(m+1)(m+2)}3$%. Если $%n=2m$% чётно, то получится $%\frac{1\cdot2}2+\frac{1\cdot2}2+\cdots+\frac{(m-1)m}2+\frac{(m-1)m}2+\frac{m(m+1)}2=\frac{(m-1)m(m+1)}3+\frac{m(m+1)}2=\frac{m(m+1)(2m+1)}6$%.

Обе формулы можно объединить в одну следующую: $$\frac{\left[\frac{n}2\right]\cdot\left(\left[\frac{n+1}2\right]+1\right)\cdot(n+1)}6.$$

Задача имеет что-то общее с этой, где также осуществлялся некоторый подсчёт числа треугольников.

ссылка

отвечен 16 Апр '15 16:27

изменен 16 Апр '15 17:36

Вначале, почему-то формулы не отображаются правильно...

@falcao, Если в конечную формулу подставим $%n=5$%, получим 10 вместо 8. При этом формулы отдельно для четных и нечетных $%n$% считают правильно! Как Вы их объединяли в одну я не понял, можно по-подробнее этот момент?

(16 Апр '15 17:30) Isaev

@Isaev: формулы кое-где неправильно отображал редактор, воспринимая сочетание квадратных и круглых скобок как ссылку. Я подправил.

Формула даёт $%\frac{2\cdot(3+1)\cdot6}6=8$% при $%n=5$%. Подставляя в неё $%n=2m+1$% и $%n=2m$%, можно убедиться, что она ведёт к предыдущим формулам.

(16 Апр '15 17:39) falcao

Хм... это целочисленное деление чтоли записывается в квадратных скобках?

(16 Апр '15 17:48) Isaev

@Isaev: да, конечно. Это стандартное школьное обозначение целой части числа. Скажем, $%[\pi]=3$%. Оно идёт ещё от Гаусса. Более современное обозначение для того же самого имеет вид $%\lfloor\pi\rfloor$%.

(16 Апр '15 17:50) falcao

Никогда такого обозначения не знал)

Большое спасибо! Всё корректно считается!

(16 Апр '15 18:13) Isaev
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×969

задан
16 Апр '15 15:52

показан
321 раз

обновлен
16 Апр '15 18:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru