Точки $%A, B, C$% и $%D$% лежат на сфере радиуса $%1$%. Известно, что выполняется такое равенство: $$AB\cdot AC\cdot AD\cdot BC\cdot BD\cdot CD=\frac {512}{27}.$$ Докажите, что $%ABCD -$% правильный тетраэдр.

задан 16 Апр '15 16:30

10|600 символов нужно символов осталось
3

Решение, аналогичное math.hashcode.ru/questions/47238/

Пускай $%A_1,\ldots,A_n$% - произвольные точки в пространстве, $%G$% - их центроид. Для любой точки $%M$% имеём: $%n\cdot\overrightarrow {MG}=\sum\limits_{k=1}^n{\overrightarrow {MA_k}}$%, или после возведения в квадрат: $%n^2\cdot MG^2=n\cdot \sum\limits_{k=1}^n {MA_k^2}-\sum\limits_{i>j}^n{A_iA_j^2}$%.

Если точки $%A_1,\ldots,A_n$% лежат на одной сфере радиуса $%R$%, то, взяв в качестве точки $%M$% центр сферы, получим $$\sum\limits_{i>j}^n {A_iA_j^2}=n^2R^2-n^2 \cdot MG^2 \le n^2R^2,$$ отсюда $$\sqrt[C_n^2]{\prod\limits_{i>j}^n {A_iA_j}}\le\sqrt{\frac{\sum\limits_{i>j}^n{A_iA_j^2}}{C_n^2}}=\sqrt {\frac{n^2R^2}{C_n^2 }}=R\sqrt{\frac{{2n}}{n-1}},$$ то есть $$\sqrt[6]{\frac{512}{27}}\le=\sqrt{\frac{{2\cdot4}}3}.$$ Из неравенства между средним геометрическим и средним квадратическим следует, что тетраэдр правильный.

ссылка

отвечен 16 Апр '15 22:31

изменен 17 Апр '15 10:14

10|600 символов нужно символов осталось
0

Радиус описанной вокруг правильного тетраэдра сферы $%R = \frac{a\sqrt6}{4}$%, т.к. $%R=1$%, то $%a=\frac{4}{\sqrt6}$%, все рёбра равны, т.е. должно выполняться равенство: $%\frac{512}{27} = (\frac{4}{\sqrt6})^6$%, что верно. ч.т.д.

ссылка

отвечен 16 Апр '15 18:36

изменен 16 Апр '15 18:46

1

Мне кажется, что вы "не в ту сторону" доказываете, то есть, пользуетесь тем, что нужно доказать. Не могу принять решение, так как считаю его неверным.

(16 Апр '15 18:47) Роман83
2

@Isaev: для правильного тетраэдра это верно, но здесь надо доказать обратное утверждение. Вдруг для какого-нибудь ещё тетраэдра это тоже верно?

(16 Апр '15 18:48) falcao
1

Тогда посмотрите с другой стороны, как частный случай "задачи Томсона"(http://www.etudes.ru/ru/etudes/tomson/), который как раз это и доказал, что при экстремальном распределении четырёх точек на поверхности сферы они будут являться вершинами правильного тетраэдра.

Общее доказательство для N точек, и частные случаи для 6 и 12 есть тут: http://www.mathnet.ru/links/b99f6fdfa33e70199276d4d371e49533/mp11.pdf

По аналогии можете вывести для 4

(16 Апр '15 19:06) Isaev
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×547

задан
16 Апр '15 16:30

показан
672 раза

обновлен
17 Апр '15 10:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru