Кaкoe нaимeньшee чиcлo вeршин мoжeт имeть мнoгoугoльник, у кoтoрoгo есть 2 оси cиммeтpии, пeрeceкaющиеся под углoм:
а) $%30^\circ$%;
б) $%10^\circ$%;
в) $%87^\circ$%.
Достаточно один пример целиком объяснить, остальные тогда пойму по образцу.

задан 16 Апр '15 16:30

изменен 16 Апр '15 21:21

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Композицией двух осевых симметрий относительно осей, угол между которыми равен $%\alpha$%, является поворот на угол $%2\alpha$%. Поэтому многоугольник а) переходит в себя при повороте на 60 градусов, и наименьшее число его вершин равно 6. Легко видеть, что у правильного 6-угольника есть оси симметрии, пересекающиеся под нужным углом. В пункте б) аналогично получается поворот на 20 градусов и правильный 18-угольник.

В пункте в) многоугольник должен переходить в себя при повороте на 174 градуса, а потому и на 348 градусов. С учётом того, что он переходит в себя при повороте на 360 градусов, он должен отображаться на себя при повороте на 12 градусов. Заметим, что $%174=12\cdot14+6$%, поэтому и про повороте на 6 градусов многоугольник перейдёт в себя. Таким свойством обладает правильный 60-угольник (это наименьшее число вершин), а у него угол между соседними осями симметрии составляет 3 градуса. Значит, есть и оси под углом 87 градусов.

ссылка

отвечен 16 Апр '15 16:48

@falcao вы написали, что наименьшее число вершин в в) 60 (насколько я понял) но правильным ответом является 180

(16 Апр '15 16:56) darkoblood

@falcao хотя вполне возможно , там ошибка, огромное вам спасибо за объяснение

(16 Апр '15 16:58) darkoblood

@darkoblood: 60-угольник удовлетворяет условию: там есть оси под любым углом, кратным 3. Может быть, где-то была опечатка, так как 180-угольник будет для числа 89, например.

(16 Апр '15 17:08) falcao

@falcao Извините, разрешите еще 1 вопрос. В 174=12*14+6 Откуда взялись 12 я понял 360-348, а откуда взялись 14 ? Извините, но объясните это пожалуйста, возможно я просто что-то упустил в вашем решении

(16 Апр '15 17:41) darkoblood
1

@darkoblood: 14 взялись из деления 174 на 12 "столбиком". Это число ни на что не влияет. Чтобы оно не смущало, можно было написать $%174=12k+6$%, где $%k$% целое. Вообще, здесь фактически находится наибольший общий делитель чисел 174 и 360. Он равен 6.

(16 Апр '15 17:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,482
×38

задан
16 Апр '15 16:30

показан
922 раза

обновлен
16 Апр '15 17:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru