3
2

О действительных числах $%a$% и $%b$% известно, что $%a^3=3ab^2+11$% и $%b^3=3a^2b+2$%. Докажите, что $%a^2+b^2=5$%

задан 16 Апр '15 16:39

изменен 30 Июл '15 10:55

EdwardTurJ's gravatar image


7055149

10|600 символов нужно символов осталось
7

$$(a+bi)^3=(a^3-3a^2b)-i(b^3-3a^2b)=11-2i=(-1+2i)^3\Rightarrow |a+bi|=|-1+2i|\Rightarrow\\\Rightarrow a^2+b^2=5.$$

ссылка

отвечен 16 Апр '15 22:11

изменен 17 Апр '15 10:12

@EdwardTurJ: я в этой задаче пытался вывести алгебраические следствия, но не догадался до идеи, что надо рассматривать возведение комплексного числа в куб. Была, правда, гипотеза, что равенство $%11^2+2^2=5^3$% должно сыграть роль. Если посмотреть "сверху", то есть с точки зрения теоремы Гильберта о нулях, то здесь справедливо тождество $%(a^2+b^2-5)^3=(a^3-3ab^2-11)f(a,b)+(b^3-3a^2b-2)g(a,b)$%, где из Вашего рассуждения можно получить явный вид многочленов $%f$%, $%g$%. А вообще, очень хорошая задача.

(17 Апр '15 11:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Искомое значение сразу вычисляется с помощью тождества $$(a^3-3ab^2)^2+(b^3-3a^2b)^2=(a^2+b^2)^3.$$

ссылка

отвечен 3 Авг '15 16:35

1

Это безусловно правда, но без привлечения комплексных чисел выглядит как вытаскивание кролика из шляпы.

(3 Авг '15 17:16) knop

Разве? Без привлечения комплексных чисел нетрудно заметить, что выражения в скобках (после почленного деления на правую часть) похожи на синус и косинус тройного угла.

(3 Авг '15 17:31) splen
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×402
×281

задан
16 Апр '15 16:39

показан
429 раз

обновлен
3 Авг '15 17:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru